高中数学人教A版必修一教学训练（学生版）第3章末质量检测 5页

‎(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)‎ A．f(x)＝2x－1　　　　　　　 B．f(x)＝ln x＋2x－6‎ C．f(x)＝x2－4x＋4 D．f(x)＝3x－1‎ 解析：　选项A、B、D中函数都是单调函数，故能用二分法求零点，选项C中函数具有二重零根，故不能用二分法求零点，故选C.‎ 答案：　C ‎2．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是(　　)‎ A. B. C. D.[来源:学,科,网]‎ 解析：　f＝－2<0，f(1)＝e－1>0，‎ ‎∵f·f(1)<0，‎ ‎∴f(x)的零点在区间内，故选B.‎ 答案：　B ‎3．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－2,6) B．[－2,6]‎ C．{－2,6} D．(－∞－2)∪(6，＋∞)‎ 解析：　若函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则方程x2＋mx＋(m＋3)＝0有两个不相等的实数根，‎ 从而应有Δ＝m2－4(m＋3)>0.‎ 故m<－2或m>6.故选D.‎ 答案：　D ‎4．下列函数增长速度最快的是(　　)‎ A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x 解析：　通过三类函数增长的情况比较知：指数函数当底数大于1时，增长速度最快，∵e>2，∴y＝ex的增长速度最快，故选A.‎ 答案：　A ‎5．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是(　　)‎ 解析：　把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．故选C.‎ 答案：　C ‎6．方程2x－x2＝0的解的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：　y＝2x与y＝x2的交点个数即为方程2x－x2＝0的解的个数．‎ 如图所示 x＝2时，22＝4‎ x＝4时，24＝42‎ x<0时，y＝2x与y＝x2有一个交点，‎ 共3个交点．‎ 答案：　C ‎7．某林区的森林面积每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ 解析：　由题意得(1＋10.4%)y＝x，‎ ‎∴y＝log1.104x(y≥0)．‎ 答案：　D ‎8．当x∈(4，＋∞)时，f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的大小关系是(　　)‎ A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)‎ C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)‎ 解析：　在同一坐标系中，画出三个函数的图象，如下图所示．‎ 当x＝2时，f(x)＝g(x)＝4，‎ 当x＝4时，f(x)＝g(x)＝16，‎ 当x>4时，g(x)图象在最上方，h(x)图象在最下方，‎ 故g(x)>f(x)>h(x)．故选B.‎ 答案：　B ‎9．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；…；当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠(　　)‎ A．17 000元 B．17 540元 C．17 500元 D．17 580元 解析：　这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20＝14 000(元)，只有这位顾客继续把奖励券消费掉，才能得到最多优惠，但当他把14 000元奖励券消费掉可得140×20＝2 800元奖励券再消费又可得到28×20＝560(元)奖励券，560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20＝120元，‎ ‎120元奖励券消费时又得20元奖励券．‎ ‎∴他总共会得到14 000＋2 800＋560＋120＋20＝17 500(元)优惠．‎ 答案：　C ‎10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元保管费，这个个体户若要获得最大收益，则这批货(　　)‎ A．月初售出好 B．月末售出好[来源:学科网ZXXK]‎ C．月初或月末一样 D．由成本费的大小确定 解析：　设这批货成本为a元，月初售出可收益(a＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，‎ 月末售出可收益a＋1 200－50＝a＋1 150(元)．‎ 令(a＋1 000)×1.024－a－1 150‎ ‎＝0.024a－126.‎ 当a>＝5 250时，月初售出好；‎ 当a<5 250时，月末售出好；‎ 当a＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出．‎ 答案：　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11．若关于x的方程x2－x－(m＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m的取值范围是________．‎ 解析：　方程可化为m＝x2－x－1，x∈[－1,1]，‎ 即要求f(x)＝x2－x－1，x∈[－1,1]的值域．‎ ‎∵f(x)∈，‎ ‎∴m∈时方程必有解．‎ 答案：　 ‎12．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．‎ 解析：　由f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)＝0得 x＝±或x＝1或x＝2.‎ ‎∴函数f(x)的零点为－，1，，2.‎ 答案：　－，1，，2‎ ‎13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．‎ 解析：　由题意知：3 860＋500＋1 000[(1＋x%)＋(1＋x%)2]≥7 000‎ ‎∴x2＋300x－6 400≥0‎ ‎∴x≥20‎ 答案：　20‎ ‎14．对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．已知实数a∈(4,5)，则函数f(x)＝x2＋ax＋1的不动点共有________个．‎ 解析：　由定义，令x2＋ax＋1＝x，则x2＋(a－1)x＋1＝0.当a∈(4,5)时，Δ＝(a－1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，f(x)＝x2＋ax＋1(a∈(4,5))有2个不动点．‎ 答案：　2‎ 三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确到0.1)．‎ 解析：　由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间 ‎(1,1.5)内存在零点，取区间(1,1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：‎ 区间中点 中点的函数值[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 取区间 ‎[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎[1,1.5]‎ x0＝1.25‎ f(x0)<0‎ ‎(1.25,1.5)‎ x1＝1.375‎ f(x1)>0‎ ‎(1.25,1.375)‎ x2＝1.312 5‎ f(x2)<0‎ ‎(1.312 5,1.375)‎ x3＝1.343 75‎ f(x3)>0‎ ‎(1.312 5,1.343 75)‎ ‎∵区间(1.312 5,1.343 75)两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的零点近似值为1.3.‎ ‎16．(本小题满分12分)有时可用函数f(x)＝ 描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N＋)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．‎ ‎(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；‎ ‎(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(参考数据e0.05≈1.051)‎ 解析：　(1)当x≥7时，‎ f(x＋1)－f(x)＝.‎ 而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，‎ 且(x－3)·(x－4)>0.‎ 故函数f(x＋1)－f(x)单调递减．‎ 所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．‎ ‎(2)由题意可知0.1＋15ln＝0.85，‎ 整理得＝e0.05，‎ 解得a＝·6≈20.50×6＝123.0，‎ 且123.0∈(121,127]．‎ 由此可知，该学科是乙学科．‎ ‎17．(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表，根据此表所给的信息进行预测：‎ ‎(1)如果不采取任何措施，那么到2015年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；‎ ‎(2)如果从2005年底后采取植树造林措施，每年改造0.6万公顷的沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到90万公顷？‎ 观测时间 ‎2001年底 ‎2002年底 ‎2003年底 ‎2004年底 ‎2005年底 该地区沙漠比原有面积增加数(万公顷)‎ ‎0.200 0‎ ‎0.400 0[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎0.600 1‎ ‎0.799 9‎ ‎1.000 1‎ 解析：　(1)由表观察知，沙漠面积增加数y与第x年年底之间的图象近似地为一次函数y＝kx＋b的图象．将x＝1，y＝0.2与x＝2，y＝0.4代入y＝kx＋b，求得k＝0.2，b＝0，所以y＝0.2x(x∈N)．因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2015年底沙漠面积大约为 ‎95＋0.2×15＝98(万公顷)．‎ ‎(2)设从2001年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意，得95＋0.2x－0.6(x－5)＝90，‎ 解得x＝20(年)．‎ 故到2020年底，该地区沙漠面积将减少到90万公顷．‎ ‎18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；‎ ‎(1)求f(x)；‎ ‎(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．‎ 解析：　(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，‎ ‎∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)，‎ ‎∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①‎ ‎4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②‎ ‎①－②得b＝a＋8.③‎ ‎③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.‎ ‎∵a≠0，a＝－3，∴b＝a＋8＝5.‎ ‎∴f(x)＝－3x2－3x＋18.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋＋18，图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，‎ ‎∴fmin(x)＝f(1)＝12，fmax(x)＝f(0)＝18，‎ ‎∴函数f(x)的值域是[12,18]． ‎