2018-2019学年四川省成都石室中学高二10月月考数学（理）试题（Word版） 10页

‎19（12分）‎ 成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考 理科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示，在正三棱柱中，是的中点，，‎ 则异面直线与所成的角为(　 　)‎ A. B. C. D.‎ ‎8.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．‎ 已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为________.‎ ‎14.设分别是双曲线的左、右焦点,点,若,则双曲线的渐近线方程为_________.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的最大值是________.‎ ‎16.已知是椭圆：的右焦点，是椭圆上一点，，当周长最大时，该三角形的面积为________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和. ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 如图，在中，，，.是内一点，且.‎ ‎（Ⅰ）若，求线段的长度；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 直角坐标系中，椭圆：的焦距为，过点 .‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，不经过原点的直线与椭圆相交于两点，线段被直线平分，且.求直线的方程.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线的斜率为时，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ 高二数学理科 ‎1.已知集合 （ B ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 （ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示，在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为(　C　)‎ A. B. C. D.‎ ‎8.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( B )‎ A. B. C． D. ‎ ‎11.已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若为双曲线的中心，，则的离心率为（　B　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，则的最小值是（A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎13.等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为 ‎ ‎14.设分别是双曲线的左右焦点,点,若,则双曲线的渐近线方程为_________.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的最大值是 . ‎ ‎16.已知是椭圆：的右焦点，是椭圆上一点，，当周长最大时，该三角形的面积为__________________.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和. ‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.依题意有 即 由，解得 所以. ………………………6分 ‎（Ⅱ）所以.‎ 因为，……………8分 ‎ 所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列.‎ ‎ 所以. ………………10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ……2分 故 ……3分 ‎ 化简得：（或）即为所求． ……5分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ ‎ 将代入方程得，‎ ‎ 所以，满足题意。 ……8分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由圆心到直线的距离 ……10分 解得，此时直线的方程为 综上所述，满足题意的直线的方程为：或. ……12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且是的中点，‎ 所以．‎ ‎ 因为侧棱底面，，‎ 所以底面．‎ ‎ 又因为底面，所以.‎ ‎ 而,‎ 所以平面．‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D E 因为平面，所以平面平面．……………………4分 ‎（Ⅱ）证明：连接，设，连接．‎ 由已知得，四边形为正方形，则为的中点.‎ 因为是的中点，‎ 所以．‎ 又因为平面，‎ 平面，‎ 所以∥平面． ……………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，‎ 所以与到平面的距离相等，‎ 所以．‎ 由题设及，得，且．‎ 所以，‎ 所以三棱锥的体积为． ………………………12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 如图，在中，，，.是内一点，且.‎ ‎（Ⅰ）若，求线段的长度；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积.‎ 解：（Ⅰ）因为 ，‎ 所以在 中， ， ， ，‎ 所以 ．‎ 在 中， ， ， ，‎ 由余弦定理得 ，‎ 所以 ．…………4分 ‎（Ⅱ）设 ，则 ，‎ 在 中， ， ， ，‎ 所以 ，‎ 在 中， ， ， ， ，‎ 由正弦定理得 ，…………8分 所以 ，‎ 所以 ，‎ 又 ，‎ 所以 ，‎ 所以 . …………12分 ‎21. (本小题满分12分)‎ 直角坐标系中，椭圆：的焦距为，过点 .‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，不经过原点的直线与椭圆相交于两点，线段被直线平分，且.求直线的方程.‎ 解： ‎ ‎（Ⅰ）设椭圆方程为，代入点，得，‎ 故椭圆方程为. ……………4分 ‎ ‎（Ⅱ）由条件知：，‎ 设： 代入得 ‎ ‎ ‎ ，………………6分 中点在直线上 ，‎ ‎ ， ………………8分 此时，‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 解得，满足，‎ 故所求直线方程为. ………………12分 ‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，.当直线的斜率为时，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题意知，，∴‎ 当直线AB的斜率为0时， .‎ ‎ 解得得.‎ ‎∴椭圆的方程为.……………………4分 ‎（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.……5分 ‎②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，，‎ 设直线AB的方程为，则直线CD的方程为.‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得，………………7分 解得，.‎ ‎.……………………8分 同理,. ……………………9分 ‎.‎ 令，则，.‎ 设 ‎.‎ 综合①与②可知，的取值范围是……………………12分