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- 2021-06-23 发布
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2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合中的不等式的解集确定出,找出,的交集后直接取补集计算
【详解】
则或
故选
【点睛】
本题主要考查了不等式的解法及集合的交集,补集的运算,属于基础题。
2.已知命题:,使得,则为( )
A. ,总有
B. ,使得
C. ,总有
D. ,使得
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题为特称命题,则其否定为全称命题,即可得到答案
【详解】
命题:,使得
:,总有
故选
【点睛】
本题主要考查的是命题及其关系,命题的否定是对命题结论的否定,属于基础题。
3.同学聚会时,某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念,其中宿舍长必须和班主任相邻,则5人不同的排法种数为( )
A. 48 B. 56 C. 60 D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】
采用捆绑法,然后全排列
【详解】
宿舍长必须和班主任相邻则有种可能,
然后运用捆绑法,将其看成一个整体,然后全排列,故一共有种不同的排法
故选
【点睛】
本题考查了排列中的位置问题,运用捆绑法来解答即可,较为基础
4.从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球,每次取一个球,在第一次取出的球是白球的条件下,第二次取出的球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用条件概率计算公式即可求出结果
【详解】
令事件为第一次取出的球是白球,事件为第二次取出的球是红球
,则根据题目要求得,
故选
【点睛】
本题考查了条件概率,只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可,较为基础。
5.若曲线在点处的切线与直线垂直,则( )
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数,根据题意列出关于的方程组,计算即可得到结果
【详解】
,则,
在点处的切线与直线垂直则,,
将点代入曲线中有,即
,
故选
【点睛】
本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程,两条直线垂直与斜率的关系,同时要求学生掌握求导法以及两直线垂直时斜率满足的条件。
6.已知命题:,命题:,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先对两个命题进行化简,解出其解集,由是的必要不充分条件,可以得到关于的不等式,解不等式即可求出的取值范围
【详解】
由命题:解得或,
则,命题:,,
由是的必要不充分条件,所以
故选
【点睛】
结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件,由小范围推出大范围,列出不等式即可得到结果,较为基础。
7.( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用积分的运算公式和定积分的几何意义即可求得结果
【详解】
为奇函数
又表示半圆的面积
故选
【点睛】
本题主要考查了积分的基本运算,以及定积分的几何意义,只要根据计算法则即可求出结果,注意几何意义。
8.下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的是( )
A. 平面内的三条直线,若,则.类比推出:空间中的三条直线,若,则
B. 平面内的三条直线,若,则.类比推出:空间中的三条向量,若,则
C. 在平面内,若两个正三角形的边长的比为,则它们的面积比为.类比推出:在空间中,若两个正四面体的棱长的比为,则它们的体积比为
D. 若,则复数.类比推理:“若,则”
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断,即可得到答案
【详解】
对于,空间中,三条直线,若,则与不一定平行,故错误
对于,若,则若,则不正确,故错误
对于,
在平面上,正三角形的面积比是边长比的平方,类比推出在空间中,正四面体的体积是棱长比的立方,棱长比为,则它们的体积比为,故错误
对于,在有理数中,由可得,,解得
,故正确
综上所述,故选
【点睛】
本题考查的知识点是类比推理,解题的关键是逐一判断命题的真假,属于基础题。
9.设,若,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. 第4项 B. 第5项 C. 第4项和第5项 D. 第7项
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用二项展开式的基本定理确定的数值,再求展开式中系数最大的项
【详解】
令,可得,令,则,
由题意得,代入得,所以,
又因为,所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项,
故选
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题,属于基础题。
10.已知,则中( )
A. 至少有一个不小于1 B. 至少有一个不大于1
C. 都不大于1 D. 都不小于1
【答案】B
【解析】
【分析】
用反证法证明,假设同时大于,推出矛盾得出结果
【详解】
假设,,,
三式相乘得,
由,所以,同理,,则与矛盾,即假设不成立,所以不能同时大于,所以至少有一个不大于,
故选
【点睛】
本题考查的是用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,在此基础上推出矛盾,是解题的关键,同时还运用了基本不等式,本题较为综合
11.且,可进行如下“分解”:
若的“分解”中有一个数是2019,则( )
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
【答案】B
【解析】
【分析】
探寻规律,利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数,底数是的数分裂成个奇数,底数是的数分裂成个奇数,则底数是数分裂成个奇数,则共有个奇数,
是从开始的第个奇数,
,
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个,即,
故选
【点睛】
本题考查了数字的变化,找出其中的规律,运用等差数列求出奇数的个数,然后进行匹配,最终还是考查了数列的相关知识。
12.已知若存在,使得,则称与互为“1度零点函数”,若 与互为“1度零点函数”,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过题意先求出函数的零点,根据计算出函数的零点范围,继而求出实数的取值范围
【详解】
令,当时,或
,
当时,解得,
,
若存在为 “度零点函数”,不妨令
由题意可得:或
即或
设,
当时,,是减函数
当时,,是增函数
,当时,,由题意满足存在性
实数的取值范围为
故选
【点睛】
本题给出了新定义,按照新定义内容考查了函数零点问题,结合零点运用导数分离参量,求出函数的单调性,给出参量的取值范围,本题较为综合,需要转化思想和函数思想,有一定难度。
二、填空题
13.已知随机变量,且,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用随机变量,关于对称,结合已知求出结果
【详解】
随机变量满足,
图象关于对称
,
则
故答案为
【点睛】
本题考查了正态分布,由正态分布的对称性即可计算出结果
14.对具有线性相关关系的变量,有一组观测数据(),其回归直线方程是,且,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求得样本中心点,代入回归直线方程即可求出的值
【详解】
由已知,
代入回归直线方程可得:
解得
故答案为
【点睛】
本题考查了线性回归方程,求出横坐标和纵坐标的平均数,写出样本中心点,将其代入线性回归方程即可求出结果
15.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字,且至少有一个数字是奇数的三位偶数,这样的三位数一共有______个.
【答案】54
【解析】
【分析】
运用排列组合,先求出偶数的可能一共有多少个,然后减去三个数字都是偶数的情况
【详解】
当个位是偶数的时候共有种可能
三个数字都是偶数时,有种可能
则满足题意的三位数共有种
故答案为
【点睛】
本题考查了排列组合的数字的排序问题,只要按照题目要求进行分类求出一共的情况,然后减去不符合情况即可得出结果
16.已知函数(),若对,都有恒成立,记的最小值为,则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
运用转化思想将题目转化为,求出的表达式,运用导数求出结果
【详解】
由题意可得,恒成立
,解得,即
为满足题意,当直线与曲线相切时成立
不妨设切点,
切线方程为
,,
令,,
当时,,是增函数
当时,,是减函数
则
故答案为
【点睛】
本题考查了函数综合,化归转化思想,消元思想,根据题意将其转化为问题,由相切求出,将二元问题转化为一元问题,然后利用导数求出最值,有一定难度,需要仔细缜密审题,理清题意
三、解答题
17.已知复数,是的共轭复数,且为纯虚数,在复平面内所对应的点在第二象限,求.
【答案】
【解析】
【分析】
设,根据题意列出关于的方程组求解,再结合所对应的点在第二象限,即可求出
【详解】
设,则,∴
又,.
∴,联立,解得
又在第二象限,∴,即
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了复数的相关定义,设出复数的表示形式,根据题意列出方程组即可,本题较为基础,注意计算。
18.电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计,发现消费金额都在5000元到10000元之间,其频率分布直方图如下:
(1)求图中的值,并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人;
(2)若将频率视为概率,从购物者中随机抽取50人,记消费金额在7000元到9000元的人数为,求的数学期望和方差.
【答案】(1) 人(2)
【解析】
【分析】
由频率分布直方图计算出频率,然后用样本估计总体
计算出消费金额在到的概率,然后计算的数学期望和方差
【详解】
(1)
消费金额不低于8000元的频率为,
所以共人.
(2)从购物者中任意抽取1人,消费金额在7000到9000的概率为,
所以,
∴
∴.
【点睛】
本题结合频率分布直方图用样本估计总体,并计算相应值得数学期望和方差,只要运用公式即可得到结果,较为基础。
19.某种子培育基地新研发了两种型号的种子,从中选出90粒进行发芽试验,并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表:
(1)将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关;
(2)若按照分层抽样的方式,从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本,并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子,设取出的型号的种子数为,求的分布列与期望.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
,其中.
【答案】(1) 有99%的把握认为发芽和种子型号有关(2)见解析
【解析】
【分析】
根据表格完成表格的填空并计算出做出判断
的可能值为0,1,2,3分别计算出概率,然后计算期望
【详解】
(1)
所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.
(2)按分层抽样的方式抽到的20粒种子中,型号的种子共4粒,型号的种子共16粒,所以的可能值为0,1,2,3,
,,,
所以的分布列为
.
【点睛】
本题考查了的计算和分布列与期望,只要将联表补充完整,按照计算方法即可求出
,继而可以求出分布列与期望,较为基础。
20.设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,且,,证明:.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
求导后对参量进行分类讨论,得到函数的单调性
由极值点求出两根之和与两根之积,将二元转化为一元来求证不等式
【详解】
(1)由题意得,的定义域为,,
①当时,,又由于,,故,所以在上单调递减;
②当时,,,故,所以在上单调递增;
③当时,由,解得,因此在上单调递减,在和上单调递增;
综上所述,当时,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在和上单调递增.
(2)由(1)知,当时,有两个极值点,
由,知,
则
,
设,,
,则在单调递增,即,
则,即.
【点睛】
求含有参量的函数的单调区间,运用导数进行分类讨论,得到在定义域内不同的单调性,在证明不等式时结合的根与系数之间的关系,进行消元转化为一元问题,从而证明出结果,本题综合性较强,有一定难度。
21.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点.
(1)当时,求两点的极坐标;
(2)设,求的值.
【答案】(1) , (2)
【解析】
【分析】
将曲线化为极坐标方程,联立求出两点的极坐标
联立直线参数方程与曲线的普通方程,运用根与系数之间关系求出结果
【详解】
(1)曲线的普通方程,化为极坐标方程为
与联立,得,
又∵,∴或
∴两点的极坐标分别为,
(2)直线的普通方程为化为参数方程为(为参数)①
曲线的普通方程为②
把①代入②,得
整理得,
∴
∴
【点睛】
需要运用公式将普通方程与极坐标方程和参数方程之间的转化,在求解长度问题时,运用参数方程来解答会降低计算量。
22.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若不等式的解集包含,求实数的取值范围.
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
运用分类讨论去绝对值, 然后求出不等式结果
由题意得,结合解集得出不等式组求出结果
【详解】
(1)即
①当时,原不等式化为,即,解得,∴;
②当时,原不等式化为,即,解得,∴.
③当时,原不等式化为,即,解得,∴
∴不等式的解集为或.
(2)不等式可化为
问题转化为在上恒成立,又,得
∴,
∴.
【点睛】
本题考查了含有绝对值问题的不等式,首先需要进行分类讨论去掉绝对值,然后求出不等式结果,在第问中需要进行转化,继而只有一个绝对值问题求解。
23.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),将圆上每一个点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线.
(1)求直线的普通方程及曲线的参数方程;
(2)设点在直线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的直角坐标.
【答案】(1) (为参数)(2)
【解析】
【分析】
运用消参求出直线的普通方程,解出曲线的普通方程,然后转化为参数方程
转化为点到直线的距离,运用参数方程进行求解
【详解】
(1)由得,消元得
设为圆上的点,在已知变换下变为上的点,依题意得
由,得
∴化为参数方程为(为参数)
(2)由题意,最小值即椭圆上点到直线距离的最小值
设,(其中,)
∴,此时,即()
∴,∴
∴.
【点睛】
本题考查了普通方程与参数方程之间的转化,需要运用公式熟练求解,在求最值问题时运用参量来求解,转化为三角函数的最值问题。
24.已知函数
(1)设的最大值为,求的最小值;
(2)在(1)的条件下,若,且,求的最大值.
【答案】(1) (2)2
【解析】
【分析】
运用不等式性质求出最小值
根据不等式求最大值
【详解】
(1)∵,
∴(当且仅当时取“=”号)
∴
(2)∵(当且仅当时取“=”号),
(当且仅当时取“=”号),
(当且仅当时取“=”号),
∴(当且仅当时取“=”号)
∴(当且仅当时取“=”号)
∴的最大值为2.
【点睛】
本题考查了根据绝对值的应用求出不等式的解集,运用不等式性质求解是本题关键,注意题目中的转化。