高中数学选修2-2教案第三章 2_1 8页

‎2．1　实际问题中导数的意义 明目标、知重点 ‎1．和实际问题相结合，进一步理解导数的概念．‎ ‎2．会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语．‎ ‎1．瞬时速度的含义 若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫作物体在t0时刻的瞬时速度，即v＝s′(t0)．‎ ‎2．功率与降雨强度的含义 功率是功关于时间的导数，降雨强度是降雨量关于时间的导数．‎ ‎3．边际成本的含义 在经济学中，边际成本是生产成本关于产量的导数．‎ 探究点一　平均变化率和瞬时变化率 思考　描述一下变化率和导数的关系．‎ 答　函数的平均变化率为；当Δx趋于0时的极限是瞬时变化率(导数)；平均变化率刻画函数在某个范围内变化的快慢，导数刻画函数在一点处变化的快慢．‎ 例1　一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程s＝gt2(g＝10 m/s2，位移单位：m，‎ 时间单位：s)，求：‎ ‎(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；‎ ‎(2)物体在t＝t0时的瞬时速度．‎ 解　(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝g(t0＋Δt)2－gt，则平均速度＝＝＝g(2t0＋Δt)．‎ ‎(2)物体在t＝t0时的瞬时速度为v＝ ＝ ＝gt0.‎ 反思与感悟　计算平均变化率可用定义；计算导数可使用定义，也可使用导数公式和导数运算法则．‎ 跟踪训练1　试比较函数y＝sin x在x＝0和x＝处瞬时变化率的大小．‎ 解　∵(sin x)′＝cos x，‎ ‎∴y＝sin x在x＝0处的瞬时变化率为cos 0＝1，‎ 在x＝处的瞬时变化率为cos ＝0.‎ ‎∴函数y＝sin x在x＝0处的瞬时变化率大．‎ 探究点二　导数的实际意义 思考1　在实际问题中，导数有什么作用？‎ 答　导数可以刻画事物变化的快慢程度．‎ 思考2　物理中有哪些常见导数模型？‎ 答　物理中速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数．‎ 思考3　实际问题中还有哪些常用的导数模型？‎ 答　实际问题中，降雨强度是降雨量关于时间的导数，边际成本是生产成本关于产量的导数，气球膨胀率是气球半径关于体积的导数等．‎ 例2　如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t.‎ ‎(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；‎ ‎(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．‎ 解　(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为 ＝＝5(J/s)．‎ 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.‎ ‎(2)首先求W′(t)．根据导数公式和求导法则可得 W′(t)＝3t2－12t＋16，‎ 于是，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.‎ W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，‎ 这个人每秒做的功为7 J和4 J.‎ 跟踪训练2　已知某电路中电量q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系式是q(t)＝3t2－2t.‎ ‎(1)求t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间的平均电量；‎ ‎(2)求t＝1 s时电路的电流．‎ 解　(1)因为电量q与时间t的函数关系式是q(t)＝3t2－2t，则电量q在[1,1＋Δt]这段时间的平均变化率为＝＝＝4＋3Δt，即平均电量为4＋3Δt.‎ 由(1)得(2)q′(1)＝ (4＋3Δt)＝4，即t＝1 s时通过该电路的电流为4 A.‎ 例3　建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数：y＝f(x)＝＋＋0.3.‎ ‎(1)当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？‎ ‎(2)求f′(100)并解释它的实际意义．‎ 解　(1)当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率为 ‎＝ ‎≈0.105(万元/m2)．‎ 它表示在建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1 050元．‎ ‎(2)首先求f′(x)，利用导数公式表和导数的运算法则可知f′(x)＝＋，‎ 于是f′(100)＝＋＝0.105(万元/m2)．‎ f′(100)表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050 元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元．‎ 反思与感悟　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．‎ 跟踪训练3　已知某商品生产成本c与产量q (02>1‎ 解析　∵1＝＝kOA；‎ 2＝＝kAB；3＝＝kBC.‎ 又∵kBC>kAB>kOA，∴3>2>1.‎ 二、能力提升 ‎8．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像为图中的(　　)‎ 答案　D 解析　函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图像是上升的，且图像是下凸的；‎ 当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图像是上升的，且图像是上凸的；‎ 当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图像为平行于x轴的射线．‎ ‎9．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)‎ s＝ 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；‎ ‎(2)物体的初速度v0；‎ ‎(3)物体在t＝1时的瞬时速度．‎ 解　(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，‎ 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，‎ ‎∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为 ＝＝24 (m/s)．‎ ‎(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．‎ ‎∵物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝ ‎＝ ‎＝3Δt－18，‎ ‎∴当Δt趋于0时，趋于－18，‎ ‎∴物体在t＝0处的瞬时变化率为－18，‎ 即物体的初速度为－18 m/s.‎ ‎(3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数在t＝1处的瞬时变化率．‎ ‎∵物体在t＝1附近的平均变化率为 ＝ ‎＝ ‎＝3Δt－12.‎ ‎∴当Δt趋于0时，趋于－12，‎ ‎∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.‎ 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.‎ ‎10．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么 ‎(1)在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？‎ ‎(2)若某种商品的p0＝5，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)‎ 解　(1)∵ p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.根据基本初等函数导数公式，‎ 有p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05.‎ ‎∴p′(10)＝1.0510 ln 1.05≈0.08(元/年)．‎ 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．‎ ‎(2)当p0＝5时，p(t)＝5×(1＋5%)t＝5×1.05t.‎ 由导数公式，p′(t)＝(5×1.05t)′＝5×1.05t×ln 1.05.‎ ‎∴p′(10)＝5×1.0510×ln 1.05≈0.40(元/年)．‎ 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．‎ 三、探究与拓展 ‎11．日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝ (80