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- 2021-06-24 发布
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文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|–11}，则A∪B=
（A）（–1，1） （B）（1，2） （C）（–1，+∞） （D）（1，+∞）
2．已知复数z=2+i，则
（A） （B） （C）3 （D）5
3．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
（A） （B）y= （C） （D）
4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
5．已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=
（A） （B）4
（C）2 （D）
6．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
8．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0．5 B．0．6 C．0．7 D．0．8
9．函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
11．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1，
12．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3）
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．
14．若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________．
15．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
16．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）
在△ABC中，a=3，，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
18．（12分）
{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
20．（12分）
已知椭圆的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题一、选择题
（1）C （2）D （3）A （4）B
（5）D （6）C （7）D （8）C
（9）B （10）C （11）D （12）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（13）8 （14）–3 1
（15）
（16）-8
三、解答题（共6小题，共80分）
17（共12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理，得
．
因为，
所以．
解得．
所以．
（Ⅱ）由得．
由正弦定理得．
在中，．
所以．
（18）（共12分）
解：（Ⅰ）设的公差为．
因为，
所以．
因为成等比数列，
所以．
所以．
解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
所以，当时，；当时，．
所以，的最小值为．
（19）（共12分）
解：（Ⅰ）因为平面ABCD，
所以．
又因为底面ABCD为菱形，
所以．
所以平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD．
所以AB⊥AE．
所以AE⊥平面PAB．
所以平面PAB⊥平面PAE．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
则FG∥AB，且FG=AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE=AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG．
因为CF平面PAE，EG平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
（20）（共12分）
解：（I）由题意得，b2=1，c=1．
所以a2=b2+c2=2．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线AP的方程为．
令y=0，得点M的横坐标．
又，从而．
同理，．
由得．
则，．
所以
．
又，
所以．
解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．
（21）（共12分）
解：（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与．
（Ⅱ）令．
由得．
令得或．
的情况如下：
所以的最小值为，最大值为．
故，即．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当最小时，．
22.解：
（1）消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程
设P（x,y）,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为
（2）C的极坐标方程为
联立得.
故，从而
代入得，所以交点M的极径为.
23.解：
（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而
且当时，.
故m的取值范围为
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