专题12+函数与导数大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品 15页

（一） 命题特点和预测：‎ 分析近8年的全国新课标1的函数与导数大题，发现8年8考，每年1题，第1小题主要考查函数的切线、函数的单调性、极值、最值，第2小题主要考查零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，第1小题是基础题，第2小题是压轴题，为难题.2019年函数与导数大题仍为压轴题，主要考查导数的几何意义、常见函数的导数及导数的运算法则、利用导数研究函数的图象与性质，进而研究零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，难度为难题.‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 ‎2018年 ‎【2018新课标1，文21】已知函数．‎ ‎（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎2017年 ‎【2017新课标1，文21】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎2016年 ‎【2016新课标1，文21】已知函数.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎2015年 ‎【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.‎ ‎（I）讨论的导函数的零点的个数；‎ ‎（II）证明：当时.‎ ‎2014年 ‎ 【2014全国1，文21】设函数，曲线 处的切线斜率为0‎ （1） 求b;‎ （2） 若存在使得，求a的取值范围。‎ ‎2013年 ‎【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．‎ ‎2012年 ‎【2012新课标全国1，文21】设函数f(x)= ex－ax－2‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值 ‎2011年 ‎【2011新课标全国1，文21】已知函数=，曲线=在点（1，）处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当＞0，且1时，＞.‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）【解析】（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．‎ 由题设知，f ′（2）=0，所以a=．‎ 从而f（x）=，f ′（x）=．‎ 当02时，f ′（x）>0．‎ 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．‎ ‎（2）当a≥时，f（x）≥．‎ 设g（x）=，则 ‎ 当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．‎ 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．‎ 因此，当时，．‎ ‎（2017年）【解析】（1），‎ ①当时，恒成立，所以在上单调递增；‎ ②当时，恒成立，令，则，‎ 故，所以在上单调递增，同理在上单调递减．‎ ③当时，恒成立，令，则，即，‎ 所以，所以在上单调递增，同理在上单调递减．‎ ‎（2）①当时，恒成立，符合题意；‎ ②当时， ，‎ 故，即；‎ ③当时， ‎ ‎，‎ 从而，故，所以．‎ 综上所述：的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值． ‎ ‎（2016年）【解析】 (I)‎ ‎(i)设，则当时，；当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增. ‎ ‎(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).‎ ‎①若，则，所以在单调递增.‎ ‎②若，则ln(-2a)<1,故当时，；‎ 当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.‎ 又，取b满足b<0且，‎ 则，所以有两个零点.‎ ‎(ii)设a=0，则所以有一个零点.‎ ‎(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.‎ 又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】本题第(I)问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第(II)问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎ ‎（2015年）【解析】（I）的定义域为，.‎ 当时,，没有零点；‎ 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.‎ ‎（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;‎ 当时，.‎ 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.‎ 由于，所以.‎ 故当时，.‎ ‎（2014年）【解析】（1）∵=，由题设知，==0，∴=1.……4分 ‎（2）的定义域为（0，+），由（I）知，=，‎ ‎∴===，‎ ‎①当＜时，＞0，＜1，当 ＞1时，＞0，则在（1，+）是增函数，当要使存在使得，则=＜，解得＜＜；‎ ‎②当=时，=≥0，故在（1，+）是增函数，存在使得，则==＜=1，适合；‎ ‎③当＜＜1时，＞0，＞1，当＞时，＞0，则在（，+）是增函数，当1＜＜时，＜0，则在（1，）上是减函数，要使存在使得，则＜，而=＞，∴不合题意 ‎④当＞1时，＜0，＜1，当＞1时，＜0，则在（1，+）是减函数，∵==＜0＜，适合；‎ 综上所述，的取值范围为（， ‎ ‎（2013年）【解析】（1）=.‎ 由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，=，‎ ‎==，‎ 令=0得，=或=-2，‎ ‎∴当时，＞0，当∈（-2，）时，＜0，‎ ‎∴在（-∞，-2），（，+∞）单调递增，在（-2，）上单调递减.‎ 当=-2时，函数取得极大值，极大值为.‎ ‎（2012年）【解析】(Ⅰ)的定义域为，.‎ 若,则,所以的增区间为,无减区间；‎ 若,则当时，; 当时，,所以在减区间为,增区间为.‎ ‎ (Ⅱ)由于a=1，所以.‎ 故当时，(x－k) f´(x)+x+1>0等价于 ‎，‎ 令，则.‎ 由(Ⅰ)知，函数在上单调递增，而，所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一零点.设此零点为，则.‎ 当时，；当时，.所以在上的最小值为.又由，可得，所以.‎ 由于等价于，故整数的最大值为2.‎ ‎（2011年）【解析】（Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ 考虑函数，则 所以当时，故 当时， ‎ 当时， ‎ 从而当 ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1.‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极值点个数.‎ ‎2.‎ 己知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在负实数a，使，函数有最小值-3．‎ ‎3.‎ 设函数 ‎(I)求函数的极值； ‎ ‎(Ⅱ)若不等式，对任意实数恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎4.‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数的极小值为0，求的值；‎ ‎（2）且，求证：.‎ ‎5.‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）讨论函数的极值，并说明理由.‎ ‎6‎ 已知函数，其中，，．‎ 若是的一条切线，求a的值；‎ 在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．‎ ‎7‎ 已知函数，，.‎ ‎（1）求单调区间；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎8‎ 已知函数 ‎（1）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎9‎ 已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎10‎ 已知函数有两个极值点，.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【解析】（1）依题意，，故，‎ 又，故所求切线方程为.‎ ‎（2）依题意.‎ 令，则，且当时，当时，，‎ 所以函数在单调递减，在单调递增，，‎ 当时，恒成立，.‎ 函数在区间单调递增，无极值点； ‎ 当时，，‎ 故存在和，使得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.‎ 综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.‎ ‎2.【解析】（Ⅰ），‎ ‎（1）当时，，当时，，所以函数单调递增，增区间为；‎ ‎（2）当时，，‎ ‎①当时，，所以函数是上的增函数，增区间为；‎ ‎②当时， 或，所以函数单调增区间为；‎ ‎③当时， 或，所以函数单调增区间为；‎ ‎（3）当时， ，所以函数单调增区间为，‎ 综上所述：‎ 当时，函数的单调增区间是；‎ 当时，函数的增区间是；‎ 当时，函数单调增区间是；‎ 当时，函数单调增区间为；‎ 当时，函数单调增区间为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在负实数a，使，函数有最小值-3，‎ ‎（1）当时，即当时，，由（Ⅰ）可知：当时，函数单调增区间为，所以，，解得，符合题意；‎ ‎（2）当时，即当时，结合（Ⅰ）可知：函数在单调递减，在 单调递增，所以，化简,‎ 不符合题意，综上所述：存在负实数，使，函数有最小值-3．‎ ‎3.【解析】（Ⅰ）‎ 令，则，‎ 当，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以的极小值为，无极大值 ‎（Ⅱ）因为不等式对任意实数恒成立，‎ 所以，对任意实数恒成立，‎ 即对任意实数恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 因为，所以，即在上单调递减，‎ 所以，即，‎ 所以 ‎4.【解析】（Ⅰ）因为 所以， ‎ 当时，，函数在定义域上递增，不满足条件；‎ 当时，函数在上递减，在上递增，‎ 故在取得极小值0，，‎ 令，，所以在（0，1）单调递增，‎ 在单调递减，故，的解为，‎ 故. ‎ ‎（2）证法1：由，‎ ‎，所以只需证当时，恒成立.‎ 令 由（1）可知，令得 ‎ ‎ 在上递增，故，所以命题得证. ‎ 证法2：，‎ 设（），则，‎ 则，又，，得，‎ 所以单调递增，得，‎ 所以单调递增，得，得证．‎ ‎5.【解析】（1）当时，，，‎ 设，‎ 则，当时，，递减，‎ 当时，，‎ 递增，则，即，所以在上递增.‎ ‎（2），，‎ 设，，‎ 当时，，递减；当时，，递增；‎ 则；‎ 若，即时，恒成立，即，则在递增；‎ 若，即时，，‎ 一方面：，而，即，‎ 由零点存在定理知在上有一个零点，设为；‎ 另一方面：，设，（），，‎ 则在递增，则，即，‎ 由零点存在定理知在有一个零点，设为；‎ 于是，当时，，递增；‎ 当时，，递减；‎ 当时，，递增；故此时函数有两个极值点.‎ ‎6.【解析】(1)的导数为，‎ 设与相切于，可得，，‎ 化为，‎ 设，导数为，当时，递增；‎ 时，递减，可得处取得最小值0，‎ 则，；‎ ‎，可得，‎ 即，‎ 设，令，，‎ 时，递减；时，递增，‎ 可得，‎ 即有，‎ 解得或舍去，‎ 当且仅当时，恒成立，‎ 综上可得的范围为．‎ ‎7.【解析】（1），‎ 由得，‎ 由得，‎ 分别在区间上单调递增.在区间上单调递减.‎ ‎（2）令，，‎ 则，‎ 由（1）知在上单调递增，.‎ ‎①当，即时，.‎ 在上单调递减，，‎ 令，得，‎ ‎②，即时，存在.使，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ，‎ ‎，，‎ 不能恒成立.‎ 综上：.‎ ‎8.【解析】（1）当时， ‎ ‎，且 ‎ 时，时， ‎ 有极小值 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎ 极小值为3，无极大值.‎ ‎（2） ‎ 时，，时 ‎ 为函数的唯一极小值点 又，当时 在区间上若存在，使，则，‎ 解得 当时，在为单调减函数，‎ ‎，不存在，使 ‎ 综上所述，在区间上存在，使，此时 ‎9.【解析】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 令，则， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增， ‎ ‎∴，‎ ‎． ‎ ‎（2）∵对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立．‎ 令，则．‎ 由于，所以在上单调递增．‎ 又，，‎ 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．‎ 即在单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴． ‎ 又，即，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ 又∵对任意恒成立，∴，‎ 又，∴．‎ ‎10.【解析】（1）因为，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 当时，不成立；‎ 当时，，令，‎ 所以，当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 又因为，当时，，当时，，‎ 因此，当时，有2个极值点，‎ 即的取值范围为.‎ ‎（2）由（1）不妨设，且，‎ 所以，所以，‎ 要证明，只要证明，‎ 即证明，‎ 设，即要证明在上恒成立，‎ 记，，‎ 所以在区间上单调递减，‎ 所以，即，即. ‎