2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题06 平面向量（讲）（解析版） 9页

专题06 平面向量(讲)‎ ‎1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．‎ ‎【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．‎ ‎2．【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=( )‎ A．−3 B．−2‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，则，‎ ‎．故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．‎ ‎3．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.‎ 因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.‎ 由得，，‎ 所以. 所以.‎ ‎【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.‎ ‎4．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．‎ ‎，‎ ‎，‎ 得即故 ‎【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.‎ 一、考向分析： ‎ ‎ 平面向量 向量的数量积 向量的线性运算 向量与解析几何 向量与三角函数 共线向量 平面向量基本定理 ‎ 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 向量的线 性运算 ‎1．平面向量的线性运算技巧 ‎(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解。‎ ‎(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。‎ ‎2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 ‎(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置。‎ ‎(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式。‎ ‎(3)比较，观察可知所求。‎ ‎3、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合三角形法则。‎ ‎(2)求已知向量的和。一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则。‎ ‎(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值。‎ ‎1、数量积公式a·b＝|a||b|cosθ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了。‎ 向量的 数量积 ‎2．平面向量夹角的求法 ‎(1)若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。‎ ‎(2)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现。‎ ‎3．平面向量的模的解题方法 ‎(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝。‎ ‎(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±‎2a·b＋b2，先求向量模的平方，再开方求解。‎ 向量与解 析几何 向量与平面几何综合问题的解法 ‎1．坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。‎ ‎2．基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解。‎ 平面向量 基本定理 用平面向量基本定理解决问题 ‎1．实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。‎ ‎2．一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。‎ ‎3．要熟练运用平面几何的一些性质定理。‎ 共线向量 ‎1．两平面向量共线的充要条件有两种形式 ‎①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb。‎ ‎2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。‎ 考查平面向量基本定理：‎ ‎【例1】在中，点，满足，．若，则 ； ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，‎ 为轴，建立直角坐标系，，，则，.‎ 考查共线向量 ‎【例1】设，是非零向量，“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件.‎ 考查线性运算：‎ ‎【例1】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，‎ 即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就 是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的 面积比为.‎ 考查数量积：‎ ‎【例1】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．‎ ‎【例2】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于( )‎ A．13 B．15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考查向量与三角函数：‎ ‎【例1】设向量，则的值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因此 ‎【例2】设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎【答案】x＝ ..‎ ‎【解析】(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈ ，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，‎ 当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.‎ 考查向量与解析几何：‎ ‎【例1】【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立 ，得2x2+2mx+m2−1=0，∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，∴=-2m2+8＞0，解得，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=−m，，‎ y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2，=(-x1，-y1)，=(x2-x1，y2-y1)，‎ ‎∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=，解得m=．故选：C．‎ ‎【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．‎ ‎【例2】已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是( )‎ ‎ (A)(-，) (B)(-， (C)(，) (D)(，)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考查向量与解三角形：‎ ‎【例1】的内角，，所对的边分别为，，．向量，与平行．‎ ‎(I)求； (II)若，求的面积．‎ 解析：(I)因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以 ‎(II)由余弦定理，得，而 得，即，因为，所以.‎ 故ABC的面积为.‎ 平面向量的数量积的解题方法 例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·‎ 的值是________．‎ 解析：方法一　坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面 直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，‎ ＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.又·＝，‎ ‎∴x＝1.∴＝(1－，2)．∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝. ‎ 方法二　用，表示，是关键．设＝x，则＝(x－1).·＝·(＋)＝‎ ·(＋x)＝x2＝2x，又∵·＝，∴2x＝，∴x＝.∴＝＋＝‎ ＋.∴·＝(＋)·＝ ‎＝2＋2＝×2＋×4＝.‎ ‎【例2】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 (　　)‎ A.－1 B．1 C. D．2‎ 解析：法一：由题意知a2＝b2＝c2＝1，又a·b＝0，∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，‎ ‎∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋‎2a·b－‎2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，‎ ‎∴|a＋b－c|≤1.‎ 方法二　 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，‎ 则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.‎ 又a＋b－c＝(1－x,1－y)，‎ ‎∴|a＋b－c|＝＝＝≤1.‎ 小结： (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：‎ ‎①直接利用数量积的定义；‎ ‎②建立坐标系，通过坐标运算求解．‎ ‎(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．‎