2017-2018学年内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 18页

绝密★启用前 内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．参数方程为参数表示什么曲线　　‎ A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 一条射线 D. 一条直线 ‎【答案】C ‎【解析】分析：消去参数t，把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形.‎ 详解：参数方程为参数，‎ 消去参数t，把参数方程化为普通方程，‎ ‎，‎ 即，‎ 它表示端点为的一条射线.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，并且需要注意参数的取值范围，是基础题.‎ ‎2．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先设出伸缩变换关系式（），然后利用变换前的方程，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，求出相应的结果.‎ 详解：将曲线①变为曲线②，‎ 设出伸缩变换关系式（），‎ 把伸缩变换关系式代入②式得：与①的系数对应相等得到：，‎ 变换关系式为：.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查的知识点：变换前的方程，伸缩变换关系式，变换后的方程，知道其中的两个量可以求出第三个量.‎ ‎3．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据条件概率公式计算即可.‎ 详解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题.‎ ‎4．有下列数据：‎ 下列四个函数中，模拟效果最好的为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：将，，代入四个选项，可得结论.‎ 详解：将，，代入四个选项，可得A模拟效果最好.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查选择合适的模拟来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目.‎ ‎5．已知回归方程，而试验得到一组数据是，，，则残差平方和是（ ）‎ A. 0.01 B. 0.02 C. 0.03 D. 0.04‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为残差，所以残差的平方和为（4.9－5）2＋（7.1－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.‎ 考点：残差的有关计算.‎ ‎6．若关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中的值为( )‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由表可得样本中心点的坐标为，根据线性回归方程的性质可得，解出，故选C.‎ ‎7．①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；‎ ‎②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；‎ ‎③在某项测量中，测量结果服从正态分布 ，若位于区域 内的概率为，则位于区域内的概率为；‎ ‎④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( )‎ A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①，因为线性回归方程是由最小二乘法计算出来的，所以它不一定经过其样本数据点，一定经过，故错误；对于②，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故正确；对于③，变量服从正态分布，则，故正确；对于④，随机变量的观测值越大，判断“与有关系”的把握越大，故错误.‎ 故选D.‎ 点睛：在回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线方程必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上.‎ ‎8．某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是( )‎ A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分 B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案.‎ 详解：密度函数，‎ 该市这次考试的数学平均成绩为80分 该市这次考试的数学标准差为10，‎ 从图形上看，它关于直线对称，‎ 且50与110也关于直线对称，‎ 故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解.‎ ‎9．已知随机变量~B（n，p），且E=2.4，D=1.44，则n，p值为（ ）‎ A. 8，0.3 B. 6，0.4 C. 12，0.2 D. 5，0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，选B.‎ ‎10．已知点P是椭圆上的动点,当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论.‎ 详解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，‎ 联立，化为，‎ ‎，解得，‎ 取时，，解得，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了直线与椭圆的相切与一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎11．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ）‎ A. 180种 B. 150种 C. 96种 D. 114种 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.‎ 详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：‎ ‎①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况；‎ ‎②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况.‎ 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种，‎ 故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.‎ ‎12．已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出，问题转化为在恒成立，令，，求出b的范围即可.‎ 详解：函数，‎ ‎，‎ 存在，使得，‎ 则若存在，使得，‎ 即存在，使得成立，‎ 令，，‎ 则 ‎ 在单调递增，‎ ‎，‎ 故.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用及函数恒成立问题，是一道中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线在x=1处的切线方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可.‎ 详解：由题意得，，‎ 在处的切线的斜率是，且切点坐标是，‎ 则在处的切线方程是：，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ 点睛：1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解.‎ ‎14．的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案)‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】展开式的次项与形成常数项，展开式的常数项和1形成常数项，所以展开式的次项为，常数项为1，所以的展开式中常数项为15+1=16‎ ‎15．甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的期望值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：随机变量的可能取的值为1，2，事件“”是指有两人同时参加A岗位服务，由此可得的分布列，进而得到的期望.‎ 详解：随机变量的可能取的值为1，2，事件“”是指有两人同时参加A岗位服务，‎ 则，‎ ‎.‎ 即的分布列如下表所示：‎ ‎ 的数学期望.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望.‎ ‎16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 ④他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1‎ 其中正确结论的序号是______‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】分析：由题意知射击一次击中目标的概率是0.9，得到第3次击中目标的概率是0.9，连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，得到是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式即可得到结果.‎ 详解：射击一次击中目标的概率是0.9，‎ 第3次击中目标的概率是0.9，‎ ‎①正确；‎ 连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，‎ 本题是一个独立重复试验，‎ 根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是，‎ ‎②不正确；‎ 至少击中目标1次的概率是1－0.14‎ ‎③正确；‎ 恰好有连续2次击中目标的概率为，‎ ‎④不正确.‎ 故答案为：①③.‎ 点睛：本题主要考查了独立重复试验，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设函数f(x)=+‎ ‎(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4; (2)若f(x)≥6在上恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：（1）将a=1代入，分段求解即可；‎ ‎（2）利用，即，求解即可.‎ 详解：（1）当时，不等式，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，无解；‎ 当时，，解得，‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ ‎，解得或，‎ 即a的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎ ‎18．2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：‎ 收看时间 ‎（单位：小时）‎ ‎14‎ ‎28‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎ (1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全列联表：‎ 男 女 合计 球迷 ‎40‎ 非球迷 合计 并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；‎ ‎ (2)在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）有（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据题中数据填写列联表，由此计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2，求出相对应的概率值，即可求得答案.‎ 详解：（1）由题意得下表：‎ 的观测值为 .‎ 所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.‎ ‎（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，‎ 所以的可能取值为0，1，2.‎ 且 ， ， ，‎ 所以的分布列为 ‎ .‎ 点睛：解决独立性检验应用问题的方法 解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后根据统计量的计算公式确定的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联．‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ 求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ 过点且与直线l平行的直线交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）1‎ ‎【解析】分析：（1）利用三种方程的转化，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用参数的几何意义，即可求得点M到A，B两点的距离之积．‎ 详解:(1)曲线（为参数),化为普通方程为:,‎ 由得,所以直线l的直角坐标方程为 ‎(2)直线的参数方程为 ‎（t为参数),代入,化简得:‎ 得,‎ 点睛：本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题.‎ ‎20．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将，代入，得再利用同角三角函数关系消去参数得.由题意可设圆的方程，将点代入可得，即得的方程为，（2）先将直角坐标方程化为极坐标方程：，再将点，代入解得，最后计算的值．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得即 ‎∴曲线的方程为（为参数），或.‎ 设圆的半径为，由题意，圆的方程，（或）．　‎ 将点代入，得，即，‎ 所以曲线的方程为或．‎ ‎（Ⅱ）因为点，在曲线上，‎ 所以，，‎ 所以 ．‎ ‎21．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图231所示．‎ 图231‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．‎ ‎【答案】(1)0.108.(2) 见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 可求出， ，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.‎ ‎（1）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 分布列为 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎0.064 ‎ ‎0.288 ‎ ‎0.432 ‎ ‎0.216 ‎ ‎ ‎ 因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72‎ 考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.‎ 视频 ‎22．已知函数 ‎(1)若，试判断在定义域内的单调性；‎ ‎(2)若在上的最小值为，求的值；‎ ‎(3)若在(1，＋∞)上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）递增（2）（3）[－1，＋∞)．‎ ‎【解析】分析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，由此利用导数性质能求出f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；‎ ‎（2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a；‎ ‎（3）由，得，令 ‎，由此利用导数性质能求出a的取值范围.‎ 详解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝＋＝.‎ ‎∵a>0，∴f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．‎ ‎(2)由(1)可知，f′(x)＝.‎ ‎①若a≥－1，则x＋a≥0，‎ 即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f(x)在[1，e]上为增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，‎ ‎∴a＝－ (舍去)．‎ ‎②若a≤－e，则x＋a≤0，‎ 即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f(x)在[1，e]上为减函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，‎ ‎∴a＝－ (舍去)．‎ ‎③若－e0，‎ ‎∴f(x)在(－a，e)上为增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，‎ ‎∴a＝－.‎ 综上所述，a＝－.‎ ‎(3)∵f(x)0，∴a>xln x－x3.‎ 令g(x)＝xln x－x3，‎ h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，‎ h′(x)＝－6x＝.‎ ‎∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，‎ ‎∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．‎ ‎∴h(x)