2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题20 三角形中的不等和最值问题（练）（解析版） 8页

‎2020年高三二轮精品 专题20 三角形中的不等和最值问题 ‎.练高考 ‎1、【2019年高考北京卷】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ ‎ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ ‎【答案】B ‎【解析】设圆心为O，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则，所以，因为，且都已确定，所以当最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P为弧AB的中点时(如图2)，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π−β，面积S的最大值为=‎ ‎4β+S△POB+ S△POA=4β+|OP||OB|sin(π−β)+|OP||OA|sin(π−β)=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选B.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.‎ ‎2、【2019年高考全国Ⅱ卷】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎(2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)，a的取值范围为.‎ ‎【解析】(1)连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.‎ ‎(2)由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，① ，② ，③‎ 由②③及得，又由①知，故．由②③得，所以，从而故. 当，时，存在满足条件的点P．‎ 所以，的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅲ卷】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．‎ ‎(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1)B=60°；(2).‎ ‎【解析】(1)由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．‎ 由，可得，故．‎ 因为，故，因此B=60°．‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积．由正弦定理得．‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°