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- 2021-06-24 发布
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石河子一中2019-2020学年高二上学期
期末数学试题
考试时间：120分钟；满分：150分
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题（共12题；共57分）
1.若集合则集合=（ ）
A. B. C. D.
2.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4.设集合,, ， 若动点 ， 则x2+(y-1)2的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前三项依次为 ，则此数列的第 项为（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量 ，若 共线，则 等于（ ）
A. - B. C. D.
7.在等差数列{an}中，a2=3，a5+a7=10，则a1+a10=（ ）
A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 11
8.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
11.若是纯虚数，则=（ ）
A. B. -1 C. D. -7
第Ⅱ卷 主观题
二、填空题（共5题；共21分）
12.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则： ①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；
③ ， ，若 ，则△ABC为锐角三角形；
④若O为△ABC的外心， ；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，
，
以上叙述正确的序号是________．
13.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2= ac，则角B的值是________．
14.已知A，B，C，D四点共面，BC=2，AB2+AC2=20， ，则| |的最大值为________．
15.函数 则f（﹣1）=________，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为________
16.（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于________．
三、解答题（共6题；共72分）
17.已知函数 （ 为实数常数）
（1）当 时，求函数 在 上的单调区间；
（2）当 时， 成立，求证： ．
18.设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ，
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 试比较 与6的大小.
19.在△ABC中，∠B=45°，AC= ，cosC= ，
（1）求BC的长；
（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．
20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40＜X＜80
80≤X≤120
X＞120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21.如图，在长方体 中， 点 是棱 的中点，点 在棱 上，且 （ 为实数）．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线 与直线 不可能垂直．
22.过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时
（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？
（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？
（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？
答案
一、单选题
1. D
2. C
3. B
4. A
5. B
6. A
7. B
8. B
9. A
10. D
11. D
二、填空题
12. ①③④⑤
13.
14. 10
15. 2﹣；（0，2）
16.
三、解答题
17. （1）解：因为 ，所以 ，
当 时，由 得 ，解得 ，
由 得 ，解得 ，
所以函数 在 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2）解：当 时，由 得
即 恒成立（*），
设 ，则 ，由题可知
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
，可知 且 时， ，使得 ，可知（*）式不成立，则 不符合条件；
②当 时， ，所以 在 上单调递减，
，可知（*）式成立，则 符合条件，所以 成立；
③当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，可知 在 上单调递减，
所以 ，由（*）式得 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
而 ， ，可知 ．
综上所述， ．
18. （1）解：设 的公差为 ， 的公比为 ．
则依题意有 且 ，解得 ，
所以 ， ．
（2）解： ，
，①
，②
②-①得：
．
19. （1）解：由
由正弦定理知
（2）解：
由余弦定理知
=
20. 解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，
由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为
=
（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）
（1）安装1台发电机的情形，
由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，
（2）安装2台发电机的情形，
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，
因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，
当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，
由此得Y的分布列如下
Y
4200
10000
P
0.2
0.8
所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
（3）安装3台发电机的情形，
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，
因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，
当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，
由此得Y的分布列如下
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
21. （1）解：如图所示，建立空间直角坐标系 ．
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ．即 ．令 ，则 ．
∴平面 的一个法向量 ．又平面 的一个法向量为 ．
故 ，即二面角 的余弦值为
（2）解：当λ = 时，E（0，1，2），F（1，4，0）， ．
所以 ．
因为 ，所以 为锐角，
从而直线EF与平面 所成角的正弦值的大小为
（3）证明：假设 ，则 ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．化简得 ．
该方程无解，所以假设不成立，即直线 不可能与直线 不可能垂直．
22. （1）解：当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分， ∴直线l的方程为：y+2= （x﹣1），化为x﹣2y﹣5=0
（2）解：设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0， ∵直线l与圆相切，
∴圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d= =2，化为：3k2﹣4k=0，
解得k=0或 ．∴当k=0或 时，直线l与圆相切
（3）解：∵l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2， ∴直线l的距离d= = ，化为13k2﹣16k+1=0，
解得k= ．
∴当k= 时，满足条件
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