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- 2021-06-24 发布
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数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是( )
A.第二象限角大于第一象限角
B.不相等的角终边可以相同
C.若是第二象限角,一定是第四象限角
D.终边在轴正半轴上的角是零角
2.下列说法正确的是( )
A.零向量没有方向
B.向量就是有向线段
C.只有零向量的模长等于
D.单位向量都相等
3.设是第一象限角,且,则是第( )象限角
A.一 B.二 C.三 D.四
4.下列是函数图象的对称轴方程的是( )
A. B. C. D.
5.在中,是的中点,,若,,则( )
A. B. C. D.
6.设,,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.设,不共线,,,,若,,三点共线,则实数的值是( )
A. B. C. D.
8.已知,则( )
A. B. C. D.
9.将函数的图象先左移,再纵坐标不变,横坐标缩为原来的,所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
10.函数,的值域为( )
A. B. C. D.
11.若函数,的图象都在轴上方,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.关于函数有下述四个结论:
①是奇函数;
②在区间单调递增;
③是的周期;
④的最大值为.
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知一扇形的圆心角为弧度,半径为,则该扇形的面积为 .
14.若,,,则向量与的夹角为 .
15.若,则的取值范围是 .
16.函数,在上单调递增,则的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.若角的终边上有一点,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
18.已知,.
(1)求向量与的夹角;
(2)若,且,求的值.
19.已知.
(1)求函数的最小正周期和最大值,并求出为何值时,取得最大值;
(2)求函数在上的单调增区间;
(3)若,求值域.
20.已知矩形,,,是平面内一点.
(1)若点满足,求的最小值;
(2)若点在线段上,求的范围.
21.函数(,)的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.
22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为,其中心距地面,半径为,若某人从最低点处登上摩天轮,摩天轮匀速旋转,那么此人与地面的距离将随时间变化,后达到最高点,从登上摩天轮时开始计时.
(1)求出人与地面距离与时间的函数解析式;
(2)从登上摩天轮到旋转一周过程中,有多长时间人与地面距离大于.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 【答案】B
【解析】
A选项,第一象限角,而是第二象限角,∴该选项错误;
B选项,与终边相等,但它们不相等,∴该选项正确;
C选项,若是第二象限角,则,
∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角,∴该选项错误;
D选项,角的终边在轴正半轴上,但不是零角,∴该选项错误.
2.【答案】C
【解析】
零向量的方向是任意的,故A选项错误;
有向线段只是向量的一种表示形式,两者不等同,故B选项错误;
只有零向量的模长等于,故C选项正确;
单位向量模长相等,单位向量若方向不同,则不是相等向量,故D选项错误.
3.【答案】B
【解析】
∵是第一象限角,∴,,
∴,,∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角,
∵,∴,∴是第二象限角.
4.【答案】D
【解析】
令,,解得,,当时,,选项D符合题意.
5.【答案】A
【解析】
.
6.【答案】C
【解析】
,∵,
∴,即,解得.
7.【答案】D
【解析】
∵,,∴,
∵,,三点共线,∴,即,
∴解得.
8.【答案】B
【解析】
由诱导公式可知,
又得,
所以,.
9.【答案】D
【解析】
向左平移个单位,故变为,纵坐标不变,横坐标缩为原来的,变为.
10.【答案】A
【解析】
根据得,,
令,由得,故,有,,二次函数对称轴为,当时,最大值,当时,最小值,综上,函数的值域为.
11.【答案】A
【解析】
∵,∴,∴,
函数,的图象都在轴上方,
即对任意的,都有,即,
∵,∴,.
12.【答案】C
【解析】
,,所以为非奇非偶函数,①错误;
当时,令,,又时单调递增,单调递减,根据复合函数单调性判断法则,当时,,均为增函数,所以在区间单调递增,所以②正确;
,所以是的周期,所以③正确;
假设的最大值为,取,必然,,则,与,矛盾,所以的最大值小于,所以④错误.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.【答案】
【解析】
根据扇形的面积公式可得.
14.【答案】
【解析】
由得,∴,∴,∴.
15.【答案】,
【解析】
因为,
而,所以,
所以,所以,,
所以,.
16.【答案】
【解析】
结合正弦函数的图象及性质可得,解得,
又,∴.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.若角的终边上有一点,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】见解析
【解析】
(1)点到原点的距离为,
根据三角函数的概念可得,解得,(舍去)……………………………………………………………………………………4分
(2)原式,…………8分
由(1)可得,,
∴原式. ……………………………………………………………10分
18.已知,.
(1)求向量与的夹角;
(2)若,且,求的值.
【答案】见解析
【解析】
(1),,,……………………………………………………3分
设向量与的夹角为,则,
∴,即向量与的夹角为. ……………………………………………6分
(2),由,可得,……………10分
∴,解得. ……………………………………………12分
19.已知.
(1)求函数的最小正周期和最大值,并求出为何值时,取得最大值;
(2)求函数在上的单调增区间;
(3)若,求值域.
【答案】见解析
【解析】
(1),………………………………………………………………1分
当,
即,时,的最大值为.……………………………3分
(2)令,
得,,…………………………………………5分
设,,,
所以,
即函数在上的单调增区间为.………………………7分
(3)由得,……………………………………8分
根据正弦函数图象可知,……………………………11分
所以.……………………………………………………………12分
20.已知矩形,,,是平面内一点.
(1)若点满足,求的最小值;
(2)若点在线段上,求的范围.
【答案】见解析
【解析】
(1)由可知,,三点共线,………………2分
则的最小值即为点到直线的距离.此时.……5分
(2)以点为原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,
故,,,,………………………………………7分
由点在线段上设,……………………………………8分
故,,………………………………………………9分
所以,…………………………10分
根据二次函数性质可得.…………………………………12分
21.函数(,)的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.
【答案】见解析
【解析】
(1)由题可得,∴,
又,且,∴,………………………………………2分
∴,
将点代入函数可得,…………4分
∴,,解得,,
又∵,∴,∴. ………………6分
(2)∵点,是的中点,,
∴点的坐标为,……………………………………………8分
又∵点在的图象上,
∴,………………………………………………………10分
又,∴,
从而得,解得. ……………………………………12分
22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为,其中心距地面,半径为,若某人从最低点处登上摩天轮,摩天轮匀速旋转,那么此人与地面的距离将随时间变化,后达到最高点,从登上摩天轮时开始计时.
(1)求出人与地面距离与时间的函数解析式;
(2)从登上摩天轮到旋转一周过程中,有多长时间人与地面距离大于.
【答案】见解析
【解析】
(1)根据题意摩天轮从最低点开始,后达到最高点,
则转一圈,所以摩天轮的角速度为.……………………2分
则时,人在点处,则此时转过的角度为.……………………4分
所以………………………………………………6分
(2)登上摩天轮到旋转一周,则.……………………………………7分
人与地面距离大于,即,
所以,…………………………………………………………………9分
由,解得:.………………………………………………11分
所以人与地面距离大于的时间为分钟.
故有分钟人与地面距离大于.………………………………………12分