2018届二轮复习（理）专题七　概率与统计第1讲　排列、组合、二项式定理课件（全国通用） 41页

第 1 讲　排列、组合、二项式定理 专题七 　 概率与统计 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘 . 例 1 　 (1)(2017· 东北三省三校联合 ) 在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有 6 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有 A.20 种 B.21 种 C.22 种 D.24 种 答案 解析 √ 解析　 分类讨论 . 当广告牌没有蓝色时，有 1 种结果； 由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有 4 块蓝色广告牌 . 根据分类加法计数原理有 1 ＋ 6 ＋ 10 ＋ 4 ＝ 21( 种 ) 结果 . 故选 B. (2)(2016· 全国 Ⅱ ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 为 A.24 B.18 C.12 D.9 答案 解析 √ 思维升华 解析　 从 E 到 F 的最短路径有 6 条，从 F 到 G 的最短路径有 3 条，所以从 E 到 G 的最短路径为 6 × 3 ＝ 18( 条 ) ，故选 B. 思维升华　 (1) 在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理 . (2) 对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 . 跟踪演练 1 　 (1) 某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完， 4 个红包中有 2 个 6 元， 1 个 8 元， 1 个 10 元 ( 红包中金额相同视为相同红包 ) ，则甲、乙都抢到红包的情况有 A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 答案 解析 √ 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有 36 种 . 故选 C. (2)(2017· 江西省五市八校联考 ) 某学校高三年级有 2 个文科班， 3 个理科班，现每个班指定 1 人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是 A.24 B.32 C.48 D.84 √ 答案 解析 热点二　排列与组合 名称 排列 组合 相同点 都是从 n 个不同元素中取 m ( m ≤ n ) 个元素，元素无重复 不同点 ① 排列与顺序有关； ② 两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ① 组合与顺序无关； ② 两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 例 2 　 (1)(2017 届四川省广元市三诊 ) 某城市关系要好的 A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名 ( 乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 ) ，其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 答案 解析 √ 所以共有 12 ＋ 12 ＝ 24( 种 ) 方法，故选 B. (2)(2017· 天津 ) 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ________ 个 .( 用数字作答 ) 1 080 答案 解析 故符合题意的四位数一共有 960 ＋ 120 ＝ 1 080( 个 ). 思维升华 思维升华　 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 . 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径 (1) 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 . (2) 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 . (3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数 . 解答计数问题多利用分类讨论思想 . 分类应在同一标准下进行，确保 “ 不漏 ”“ 不重 ”. 跟踪演练 2 　 (1)(2017· 兰州模拟 ) 某国际会议结束后，中、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有 答案 解析 √ (2)(2017· 广东省韶关市模拟 )5 位大学毕业生分配到 3 家单位，每家单位至少录用 1 人，则不同的分配方法共有 A.25 种 B.60 种 C.90 种 D.150 种 答案 解析 解析　 因为 5 位大学毕业生分配到 3 家单位，每家单位至少录用 1 人， √ 共有 90 ＋ 60 ＝ 150( 种 ) 分法，故选 D. 热点三　二项式定理 例 3 　 (1)(2017· 河南省普通高中质量监测 )(3 － 2 x － x 4 )·(2 x － 1) 6 的展开式中，含 x 3 项的系数为 A.600 B.360 C . － 600 D. － 360 答案 解析 √ (2)(2017 届湖北省黄冈市质量检测 ) 已知 (1 － 2 x ) 2 017 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x － 1) ＋ a 2 ( x － 1) 2 ＋ … ＋ a 2 016 ( x － 1) 2 016 ＋ a 2 017 ( x － 1) 2 017 ( x ∈ R ) ，则 a 1 － 2 a 2 ＋ 3 a 3 － 4 a 4 ＋ … － 2 016 a 2 016 ＋ 2 017 a 2 017 等于 A.2 017 B.4 034 C. － 4 034 D.0 答案 √ 解析 思维升华 解析　 因为 (1 － 2 x ) 2 017 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x － 1) ＋ a 2 ( x － 1) 2 ＋ … ＋ a 2 016 ( x － 1) 2 016 ＋ a 2 017 ( x － 1) 2 017 ( x ∈ R ) ， 两边同时求导可得－ 2 × 2 017(1 － 2 x ) 2 016 ＝ a 1 ＋ 2 a 2 ( x － 1) ＋ … ＋ 2 016 a 2 016 ( x － 1) 2 015 ＋ 2 017 a 2 017 ( x － 1) 2 016 ( x ∈ R ) ， 令 x ＝ 0 ，则－ 2 × 2 017 ＝ a 1 － 2 a 2 ＋ … － 2 016 a 2 016 ＋ 2 017 a 2 017 ( x ∈ R ) ＝－ 4 034 ，故选 C. 思维升华　 (1) 在应用通项公式时，要注意以下几点 ① 它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 k 确定，该项就随之确定； ② T k ＋ 1 是展开式中的第 k ＋ 1 项，而不是第 k 项； ③ 公式中， a ， b 的指数和为 n ，且 a ， b 不能随便颠倒位置； ④ 对二项式 ( a － b ) n 的展开式的通项公式要特别注意符号问题 . (2) 在二项式定理的应用中， “ 赋值思想 ” 是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法 . A.15 B.20 C.30 D.35 答案 解析 √ A.5 B.6 C.7 D.8 答案 √ 解析 解析　 令 x ＝ 1 ，得各项系数之和为 A ＝ 4 n ，二项式系数之和为 B ＝ 2 n ， Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 _____ 种 . 36 答案 解析 解析　 由题意可得，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作， 1 2 3 4 2.(2016· 上海 ) 在 的 二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256 ， 则 常数项等于 ______. 112 答案 解析 1 2 3 4 解析　 2 n ＝ 256 ， n ＝ 8 ， 3.(2017· 浙江 ) 已知多项式 ( x ＋ 1) 3 ( x ＋ 2) 2 ＝ x 5 ＋ a 1 x 4 ＋ a 2 x 3 ＋ a 3 x 2 ＋ a 4 x ＋ a 5 ，则 a 4 ＝ ____ ， a 5 ＝ ____. 16 　 4 答案 解析 解析 　 a 4 是 x 项的系数，由二项式的展开式得 1 2 3 4 4.(2017· 浙江 ) 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 ________ 种不同的选法 .( 用数字作答 ) 660 答案 解析 1 2 3 4 所以依据分类加法计数原理知共有 480 ＋ 180 ＝ 660( 种 ) 不同的选法 . 1 2 3 4 1 2 3 4 押题预测 1. 某电视台一节目收视率很高，现要连续插播 4 个广告，其中 2 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有 A.8 种 B.16 种 C.18 种 D.24 种 答案 解析 押题依据　 两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点 . 1 2 3 4 √ 押题依据 1 2 3 4 2. 为配合足球国家战略，教育部特派 6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为 A.60 B.120 C.240 D.360 答案 解析 押题依据　 排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类 . 1 2 3 4 √ 押题依据 解析　 6 名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为 4,1,1 ； 3,2,1 ； 2,2,2. 1 2 3 4 综上所述，共有 60 ＋ 240 ＋ 60 ＝ 360( 种 ) 分配方案 . 1 2 3 4 3. 设 (1 － 2 x ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ＋ a 6 x 6 ＋ a 7 x 7 ，则代数式 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＋ 7 a 7 的值为 A. － 14 B . － 7 C.7 D.14 答案 解析 押题依据　 二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性 . 1 2 3 4 √ 押题依据 解析　 对已知等式的两边求导，得 － 14(1 － 2 x ) 6 ＝ a 1 ＋ 2 a 2 x ＋ 3 a 3 x 2 ＋ 4 a 4 x 3 ＋ 5 a 5 x 4 ＋ 6 a 6 x 5 ＋ 7 a 7 x 6 ， 令 x ＝ 1 ，有 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＋ 7 a 7 ＝－ 14. 故选 A. 1 2 3 4 4.(1 ＋ 2 x ) 10 的展开式中系数最大的项是 ________. 押题依据　 二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力 . 解析　 设第 k ＋ 1 项的系数最大， 15 360 x 7 答案 解析 1 2 3 4 押题依据