• 707.35 KB
  • 2021-06-24 发布

2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第一篇 第5练

  • 13页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第5练 数学文化 ‎[明晰考情] 1.命题角度:近几年,为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用,在数学中出现了数学文化的内容,内容不拘一格,古今中外文化兼有.2.题目难度:中档难度.‎ 考点一 算法、数列中的数学文化 方法技巧 (1)和算法结合的数学文化,要读懂程序框图,按程序框图依次执行.‎ ‎(2)数学文化中蕴含的数列问题,要寻找数列前几项,寻找规律,抽象出数列模型.‎ ‎1.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为(  )‎ A.4 B.2 C.0 D.14‎ 答案 B 解析 由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.‎ ‎2.(2018·石嘴山模拟)《张邱建算经》是中国古代的数学著作,书中有一道题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 依题意设每天多织d尺,依题意得S30=30×5+d=390,解得d=.‎ ‎3.(2018·葫芦岛模拟)20世纪70年代,流行一种游戏——角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数n,按照以下的规律进行变换:如果n是个奇数,则下一步变成3n+1;如果n是个偶数,则下一步变成,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确的说是落入底部的4-2-1循环,而永远也跳不出这个圈子,下面程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的i值为6,则输入的n值为(  )‎ A.5 B.16‎ C.5或32 D.4或5或32‎ 答案 C 解析 当n=5时,执行程序框图,‎ i=1,n=16,i=2,n=8,i=3,n=4,i=4,n=2,i=5,‎ n=1,i=6,结束循环,输出i=6;‎ 当n=32时,执行程序框图,‎ i=1,n=16,i=2,n=8,i=3,n=4,i=4,n=2,i=5,‎ n=1,i=6,结束循环,输出i=6.‎ 易知当n=4时,不符合,故n=5或n=32,故选C.‎ ‎4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 答案 C 解析 当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,‎ 当n=2时,a=,b=8,满足进行循环的条件,‎ 当n=3时,a=,b=16,满足进行循环的条件,‎ 当n=4时,a=,b=32,不满足进行循环的条件,退出循环.故输出的n值为4.‎ ‎5.(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展作出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  )‎ A.f B.f C.f D.f 答案 D 解析 由题意知,这十三个单音的频率构成首项为f、公比为的等比数列,则第八个单音的频率为()7f=f.‎ ‎6.(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x=____,y=____.‎ 答案 8 11‎ 解析 方法一 由题意,得 即解得 方法二 100-81=19(只),‎ ‎81÷3=27(元),‎ ‎100-27=73(元).‎ 假设剩余的19只鸡全是鸡翁,则5×19=95(元).‎ 因为95-73=22(元),‎ 所以鸡母:22÷(5-3)=11(只),‎ 鸡翁:19-11=8(只).‎ 考点二 三角函数与几何中的数学文化 方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系,通过分析图形特征建立数学模型,转化为三角函数或几何问题.‎ ‎7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题:“今有勾八步,股十五步,勾中容圆,问径几何?”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步,则其内切圆的直径是多少步?则此问题的答案是(  )‎ A.3步 B.6步 C.4步 D.8步 答案 B 解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15,则得其斜边长为17,‎ 设其内切圆半径为r,‎ 则有++=×8×15(等积法),‎ 解得r=3,故其直径为6步.‎ ‎8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角为α,则tan α等于(  )‎ A. B. C.5 D. 答案 A ‎ 解析 由题意得,大正方形的边长为10,小正方形的边长为 2,‎ ‎∴2=10cos α-10sin α,‎ ‎∴cos α-sin α=,‎ 又α为锐角,易求得tan α=.‎ ‎9.(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )‎ 答案 A 解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.‎ ‎10.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势即同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高几何体,‎ 若在每一等高处的截面积都相等,则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为(  )‎ A.4- B.8- C.8-π D.8-2π 答案 C 解析 由三视图知,该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.‎ V正方体=23=8,V半圆柱=(π×12)×2=π,‎ ‎∴三视图对应几何体的体积V=8-π.‎ 根据祖暅原理,不规则几何体的体积V′=V=8-π.‎ ‎11.(2018·蚌埠模拟)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛≈1.62立方尺,π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩,则该外罩的直径约为(  )‎ A.5尺 B.9尺 C.10.6尺 D.21.2尺 答案 D 解析 设谷堆的高为h尺,底面半径为r尺,则2πr=54,r≈9.‎ 粟米250斛,则体积为250×1.62=×π×92×h,h≈5.‎ 谷堆内接于一个球状的外罩,设球的半径为R尺.‎ 则R2=(h-R)2+r2,解得R≈10.6(尺).‎ ‎∴2R≈21.2(尺).‎ ‎12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:‎ ‎①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<;④c1a2>a1c2.‎ 其中正确的式子的序号是(  )‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 答案 D 解析 ①由题图知2a1>2a2,2c1>2c2,‎ 即a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,∴①不正确.‎ ‎②∵a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,∴a1-c1=a2-c2,∴②正确.‎ ‎④∵a1>a2>0,c1>c2>0,∴a>a,c>c.‎ 又∵a1-c1=a2-c2,‎ 即a1+c2=a2+c1,‎ 即a+c+2a1c2=a+c+2a2c1,‎ ‎∴a-c+c-a+2a1c2=2a2c1,即(a1-c1)(a1+c1)-(a2-c2)(a2+c2)+2a1c2=2a2c1,‎ 整理得(a1-c1)(a1-a2+c1-c2)+2a1c2=2a2c1.‎ ‎∵a1>c1,a1>a2,c1>c2,∴2a1c2<2a2c1,即c1a2>a1c2,∴④正确.‎ ‎③∵c1a2>a1c2,a1>0,a2>0,∴>,即>,∴③不正确.故选D.‎ 考点三 概率、统计与推理证明中的数学文化 方法技巧 (1)概率、统计和数学文化的结合,关键是构建数学模型.‎ ‎(2)推理证明和实际问题结合,要根据已知条件进行逻辑推理,得到相应结论.‎ ‎13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 答案 B 解析 由系统抽样的含义,该批米内夹谷约为×1 534≈169(石).‎ ‎14.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数,如343,12 521等,两位数的回文数有11,22,33,…,99共9个,则三位数的回文数中,偶数的概率是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 三位数的回文数为ABA,‎ A共有1到9共9种可能,即1B1,2B2,3B3,…,‎ B共有0到9共10种可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,…,‎ 共有9×10=90(个);‎ 其中偶数为A是偶数,共4种可能,即2B2,4B4,6B6,8B8,‎ B共有0到9共10种可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,…,‎ 其有4×10=40(个),‎ ‎∴三位数的回文数中,偶数的概率P==.‎ ‎15.(2018·永州模拟)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn(如:在3阶幻方中,N3=15),则N10等于(  )‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎6‎ A.1 020 B.1 010 C.510 D.505‎ 答案 D 解析 n阶幻方共有n2个数,其和为1+2+…+n2=,∵n阶幻方共有n行,‎ ‎∴每行的和为=,即Nn=,∴N10==505.‎ ‎16.(2018·贵港市联考)《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是:有一水池一丈见方,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深,该植物有多长?其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 如图所示,设水深为x尺,由题意得(x+2)2=x2+52,求解关于实数x的方程,可得x=,即水深为尺,又葭长为尺,则所求问题的概率为P=.故选A.‎ ‎17.(2018·北京朝阳区模拟)庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或 “节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”).今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:‎ 甲说:“我或乙能中奖”;    乙说:“丁能中奖”;‎ 丙说:“我或乙能中奖”;    丁说:“甲不能中奖”.‎ 游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 A 解析 由四人的预测可得下表:‎ 中奖人 预测结果 甲 乙 丙 丁 甲 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 乙 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ 丙 ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ 丁 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ 由分析可知,中奖者是甲.‎ ‎1.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤?”(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,以此类推,第一等人得金a10斤,则数列{an}构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,‎ 由题意得即解得d=,‎ ‎∴每一等人比下一等人多得斤金.‎ ‎2.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天”,在该问题中前5天共分发了多少升大米?(  )‎ A.1 170 B.1 380 C.3 090 D.3 300‎ 答案 D 解析 设第n天派出的人数为an,则{an}是以64为首项,7为公差的等差数列,则第n天修筑堤坝的人数为Sn=a1+a2+…+an=64n+×7,所以前5天共分发的大米数为3(S1+S2+S3+S4+S5)=3[(1+2+3+4+5)×64+(1+3+6+10)×7]=3 300(升).‎ ‎3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案 B 解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,‎ 前n天打洞之和为=2n-1;‎ 同理,小老鼠前n天打洞的距离=2-,‎ ‎∴2n-1+2-=10,‎ 解得n∈(3,4),取n=4.‎ 即两鼠在第4天相逢.‎ ‎4.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V=×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(  )‎ A.3 B.3.14 C.3.2 D.3.3‎ 答案 A 解析 由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺,‎ ‎∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),‎ ‎∴V=×(482×11)=2 112,‎ ‎∴ ‎∴π=3,R=8.‎ ‎5.(2018·吉林调研)《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,如图为该问题的程序框图,若输出的S值为0,则开始输入的S值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 模拟程序的运行,可得 当i=1时,S=2S-1,i=1满足条件i<3,执行循环体;‎ 当i=2时,S=2(2S-1)-1,i=2满足条件i<3,执行循环体;‎ 当i=3时,S=2[2(2S-1)-1]-1,i=3不满足条件i<3,退出循环体,输出S=0,‎ ‎∴2[2(2S-1)-1]-1=0,∴S=.‎ ‎6.(2018·聊城模拟)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”,该图是由四个全等的直角三角形组成,它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点,则此点取自小正方形内的概率是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 不妨设两条直角边为3,1,故斜边,即大正方形的边长为=,小正方形边长为2,故概率为=.‎ ‎7.(2018·南昌模拟)欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆盖其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4 cm的圆面,中间有边长为1 cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴落入孔中的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由题意可得直径为4 cm的圆的面积为π×2=4π(cm2),而边长为1 cm的正方形的面积为1×1=1(cm2),根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P=,故选B.‎ ‎8.(2018·辽宁瓦房店模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,‎ 书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为(  )‎ A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺 答案 B 解析 设四棱锥的外接球半径为r尺,‎ 则(2r)2=72+52+82=138,‎ ‎∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr2=138π(平方尺).‎ 故选B.‎ ‎9.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生________天.‎ 答案 510‎ 解析 由题意满七进一,可得该图示为七进制数,‎ 化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x.这可以通过方程=x确定x=2,则1+=________.‎ 答案  解析 由题意,可令1+=x(x>0),即1+=x,‎ 即x2-x-1=0,解得x=,‎ 故1+=.‎ ‎11.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,‎ 等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,若共得到4 095个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为________.‎ 答案  解析 依题意,正方形的边长构成以为首项,公比为的等比数列.‎ 因为共有4 095个正方形,‎ 则1+2+22+…+2n-1=4 095,所以n=12.‎ 所以最小正方形的边长为×12-1=12=.‎ ‎12.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图A所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C+C=C,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_______________________.‎ 答案 =+

相关文档