2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题08 不等式（练）（解析版） 8页

专题08 不等式(练)‎ ‎1．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.‎ ‎2、【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是( )‎ A． B． 1‎ C． 10 D． 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。‎ 因为，所以.平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.‎ 联立两直线方程可得，解得.即点A坐标为，所以.故选C.‎ ‎【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.‎ ‎3、【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为( )‎ A．−7 B．1 ‎ C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. ‎ 设,当直线经过点时,取最大值5.故选C．‎ ‎【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.‎ ‎4．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ ‎【答案】①130 ；②15.‎ ‎【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)‎ 设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.‎ ‎1、已知函数f(x)＝ax＋lnx，x∈[1，e]。‎ ‎(1)若a＝1，求f(x)的最大值。‎ ‎(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x＋lnx，f′(x)＝1＋＝。‎ 因为x∈[1，e]，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)max＝f(e)＝e＋1。‎ ‎(2)因为f(x)≤0即ax＋lnx≤0对x∈[1，e]恒成立，所以a≤－，x∈[1，e]。‎ 令g(x)＝－，x∈[1，e]，则g′(x)＝，因为x∈[1，e]，所以g′(x)≤0，所以g(x)在[1，e]‎ 上递减，所以g(x)min＝g(e)＝－，所以a≤－。即a的取值范围为。‎ ‎2、设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数。‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性。‎ ‎(2)证明：当x>1时，g(x)>0。‎ ‎(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立。‎ ‎【解析】(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)。‎ 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减。‎ 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝。‎ 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增。‎ ‎(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1。当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)单调递增。‎ 又由s(x)>s(1)＝0知ex－1>x，从而g(x)＝－>0。‎ ‎(3)由(2)，当x>1时，g(x)>0。‎ 当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0。故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0。‎ 当01。由(1)有f0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)‎ 内不恒成立。‎ 当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)。当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－ ‎＝>>0。‎ 因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增。又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，‎ 即f(x)>g(x)恒成立。综上，a∈。‎ ‎3、设函数f(x)＝＋(1－k)x－klnx(k∈R)。‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性。‎ ‎(2)若k为正数，且存在x0使得f(x0)<－k2，求k的取值范围。‎ ‎【解析】(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋1－k－＝＝，‎ ‎①k≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；‎ ‎②k>0时，x∈(0，k)，f′(x)<0；x∈(k，＋∞)，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(0，k)内单调递减，f(x)在(k，＋∞)内单调递增。‎ ‎(2)因为k>0，由(1)知f(x)＋k2－的最小值为f(k)＋k2－＝＋k－klnk－，由题意得＋k－klnk－<0，‎ 即＋1－lnk－<0。令g(k)＝＋1－lnk－，则g′(k)＝－＋＝>0，所以g(k)在 ‎(0，＋∞)内单调递增，又g(1)＝0，所以当k∈(0,1)时，g(k)<0，于是＋k－klnk－<0；‎ 当k∈(1，＋∞)时，g(k)>0，于是＋k－klnk－>0。故k的取值范围是(0,1)。‎ ‎4、已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex。‎ ‎(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值。‎ ‎(2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)，所以a的取值范围是。‎ ‎1．(四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学(理)试题)已知集合，，则( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，故，故选C.‎ ‎【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.‎ ‎2．【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)数学试题】若，满足约束条件，则的最大值为( )‎ A． B． ‎ C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示： 目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，则此时目标函数取得最大值，由可得，目标函数的最大值为：5选：C．‎ ‎【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．‎ ‎3、【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数满足，则的最小值为( )‎ A． B． ‎ C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，因为，则，‎ 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4、【山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)数学试题】设，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ， ,即，故.又，所以.故，所以选A.‎ ‎【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.‎ ‎5、【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试数学试题】设不等式组 ‎，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出所表示的区域如图中阴影部分所示，易知，所以的面积为，满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为，故选A.‎ ‎【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.‎ ‎6、【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知，，且，则最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，结合可知原式，‎ 且，‎ 当且仅当时等号成立.即的最小值为.‎ ‎【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎7．【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，‎ 则： ， ，，‎ ‎，.则(当且仅当，即时取等号)‎ ‎.故填.‎ ‎【名师点睛】本题考查基本不等式求解和最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. ‎