高中数学选修2-2教学课件第三章 1_1 43页

第三章　导数应用 § 1 　函数的单调性与极值 1.1 　导数与函数的 单调性 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 . 2. 能利用导数判断函数的单调性 . 3. 会求函数的单调区间 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ). 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 导数与函数单调性的关系 (1) 一般地，在区间 ( a ， b ) 内 导数 函数的单调性 f ′ ( x )>0 单调 递 f ′ ( x )<0 单调 递 f ′ ( x ) ＝ 0 常数函数 增 减 (2) 若函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内存在导函数且单调递增 ( 递减 ) ，则对一切 x ∈ ( a ， b ) 都 有 ， 且在 ( a ， b ) 任一子区间内 f ′ ( x ) 不恒为零 . f ′ ( x ) ≥ 0( f ′ ( x ) ≤ 0) 定义域 (3) 利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数 的 ， 解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间 . 当函数 y ＝ f ( x ) 有多个单调区间时，不能用 “∪” 或 “ 或 ” 把单调区间连起来，而 应用 ____ 或 连 起来 . “ ， ” “ 和 ” 探要点 · 究 所然 探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系 思考 1 　观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h ( t ) ＝－ 4.9 t 2 ＋ 6.5 t ＋ 10 的图像，及运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v ( t ) ＝ h ′ ( t ) ＝－ 9.8 t ＋ 6.5 的图像，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别 . 答　 (1) 从起跳到最高点， h 随 t 的增加而增加，即 h ( t ) 是增函数， h ′ ( t )>0 ； (2) 从最高点到入水， h 随 t 的增加而减小，即 h ( t ) 是减函数， h ′ ( t )<0. 思考 2 　观察下面四个函数的图像，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？若函数 f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内单调递增，那么 f ′ ( x ) 一定大于零吗？ 答　 (1) 在区间 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 内， y ′ ＝ 1>0 ， y 是增函数； (2) 在区间 ( － ∞ ， 0) 内， y ′ ＝ 2 x <0 ， y 是减函数； 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 内， y ′ ＝ 2 x >0 ， y 是增函数； (3) 在区间 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 内， y ′ ＝ 3 x 2 ≥ 0 ， y 是增函数； (4) 在区间 ( － ∞ ， 0) ， (0 ，＋ ∞ ) 内， y ′ ＝－ <0 ， y 是减函数 . 若函数 f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内单调递增，则 f ′ ( x ) 不一定大于零 . 由图 (3) 知 f ′ ( x ) ≥ 0 恒成立 . 小结　 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间 ( a ， b ) 内，如果 f ′ ( x )>0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ ( x )<0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递减 . 思考 3 　 (1) 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考 2 中 (4) 的单调区间 . 答　 不能 用 “∪” 连接，只能用 “ ， ” 或 “ 和 ” 字隔开 . 思考 2 中 (4) 的单调递减区间为 ( － ∞ ， 0) ， (0 ，＋ ∞ ). (2) 函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 答　 函数 的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集 . 例 1 　已知导函数 f ′ ( x ) 的下列信息： 当 1< x <4 时， f ′ ( x )>0 ； 当 x >4 ，或 x <1 时， f ′ ( x )<0 ； 当 x ＝ 4 ，或 x ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ 0. 试画出函数 f ( x ) 图像的大致形状 . 解　 当 1< x <4 时， f ′ ( x )>0 ，可知 f ( x ) 在此区间内单调递增； 当 x >4 ，或 x <1 时， f ′ ( x )<0 ，可知 f ( x ) 在这两个区间内单调递减 ； 当 x ＝ 4 ，或 x ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ 0 ，这两点比较特殊，我们称它们为 “ 临界点 ”. 综上，函数 f ( x ) 图像的大致形状如图所示 . 反思与感悟　 本题具有一定的开放性，图像不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了 . 跟踪训练 1 　函数 y ＝ f ( x ) 的图像如图所示，试画出导函数 f ′ ( x ) 图像的大致形状 . 解　 f ′ ( x ) 图像的大致形状如图： 注：图像形状不唯一 . 探究点二　求函数的单调区间 例 2 　 求下列函数的单调区间： (1) f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋ 3 x 2 － 36 x ＋ 1 ； 解　 f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 ＋ 6 x － 36. 由 f ′ ( x )>0 得 x < － 3 ， 或 x >2 ， 由 f ′ ( x )<0 解得－ 3< x <2 ， 故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( － ∞ ，－ 3) ， (2 ，＋ ∞ ) ； 单调递减区间是 ( － 3,2 ). (2) f ( x ) ＝ sin x － x (0< x <π) ； 解　 f ′ ( x ) ＝ cos x － 1 ≤ 0 恒成立， 故函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0 ， π ) (3) f ( x ) ＝ 3 x 2 － 2ln x ； 解　 函数的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， (4) f ( x ) ＝ 3 tx － x 3 . 解　 f ′ ( x ) ＝ 3 t － 3 x 2 . 令 f ′ ( x ) ≥ 0 时，得 3 t － 3 x 2 ≥ 0 ，即 t ≥ x 2 ， ∴ 当 t ≤ 0 时，无解 ； 令 f ′ ( x ) ≤ 0 时，得 3 t － 3 x 2 ≤ 0 ，即 t ≤ x 2 ， 当 t ≤ 0 时， f ′ ( x ) ≤ 0 恒成立， 函数的单调递减区间是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ； 综上所述，当 t ≤ 0 时，函数的单调减区间是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，无单调增区间； 反思与感悟　 求函数的单调区间的具体步骤 (1) 先确定 f ( x ) 的定义域； (2) 再求导数 f ′ ( x ) ； (3) 后解定义域内满足 f ′ ( x )>0 的区间为增区间，定义域内满足 f ′ ( x )<0 的区间为减区间 . 跟踪训练 2 　求下列函数的单调区间： (1) f ( x ) ＝ x 2 － ln x ； 解　 函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ). (2) f ( x ) ＝ x 3 － x 2 － x . 解　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 x － 1 ＝ (3 x ＋ 1)( x － 1 ). 探究点三　函数的变化快慢与导数的关系 思考 　我们知道导数的符号反映函数 y ＝ f ( x ) 的增减情况，怎样反映函数 y ＝ f ( x ) 增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢 ？ 答　 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较 “ 陡峭 ” ( 向上或向下 ) ；反之，函数的图像就 “ 平缓 ” 一些 . 如图所示，函数 y ＝ f ( x ) 在 (0 ， b ) 或 ( a, 0) 内的图像 “ 陡峭 ” ，在 ( b ，＋ ∞ ) 或 ( － ∞ ， a ) 内的图像 “ 平缓 ”. 例 3 　 如图，水以恒速 ( 即单位时间内注入水的体积相同 ) 注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像 . 解　 (1) → B ， (2) → A ， (3) → D ， (4) → C. 反思与感悟　 通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢 . 从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图像大致画出导函数的图像，反之也可行 . 跟踪训练 3 　已知 f ′ ( x ) 是 f ( x ) 的导函数， f ′ ( x ) 的图像如图所示，则 f ( x ) 的图像只可能是 ( 　　 ) 解析　 从 f ′ ( x ) 的图像可以看出，在 区间 内 ，导数递增； 答案　 D 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 函数 f ( x ) ＝ x ＋ ln x 在 (0,6) 上是 ( 　　 ) A. 单调增函数 B. 单调减函数 4 1 2 3 ∴ 函数在 (0,6) 上单调递增 . 4 答案　 A 2. f ′ ( x ) 是函数 y ＝ f ( x ) 的导函数，若 y ＝ f ′ ( x ) 的图像如图所示，则函数 y ＝ f ( x ) 的图像可能是 ( 　　 ) 1 2 3 4 1 2 3 4 解析　 由导函数的图像可知，当 x <0 时， f ′ ( x )>0 ，即函数 f ( x ) 为增函数； 当 0< x <2 时， f ′ ( x )<0 ，即 f ( x ) 为减函数； 当 x >2 时， f ′ ( x )>0 ，即函数 f ( x ) 为增函数 . 观察选项易知 D 正确 . 答案　 D 1 2 3 3. 函数 f ( x ) ＝ ln( x 2 － x － 2) 的单调递减区间为 ______ ____ __. 4 注意到函数定义域为 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) ， 故单调递减区间为 ( － ∞ ，－ 1). ( － ∞ ，－ 1) 1 2 3 4 4.(1) 函数 y ＝ x 2 － 4 x ＋ a 的单调递增区间为 _______ _ _ ，单调递减区间为 ______ _ __. 解析　 y ′ ＝ 2 x － 4 ，令 y ′ >0 ，得 x >2 ； 令 y ′ <0 ，得 x <2 ， 所以 y ＝ x 2 － 4 x ＋ a 的单调递增区间为 (2 ，＋ ∞ ) ， 单调递减区间为 ( － ∞ ， 2 ). (2 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 2) 1 2 3 4 (2) 函数 y ＝ x 3 － x 的单调递增区间为 __________ ，单调递减区间为 ________. 1 2 3 4 呈 重点、现 规律 1. 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度 . 2. 利用导数求函数 f ( x ) 的单调区间的一般步骤为 (1) 确定函数 f ( x ) 的定义域； (2) 求导数 f ′ ( x ) ； (3) 在函数 f ( x ) 的定义域内解不等式 f ′ ( x )>0 和 f ′ ( x )<0 ； (4) 根据 (3) 的结果确定函数 f ( x ) 的单调区间 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看