【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的基本定理及坐标表示学案 11页

‎　‎ ‎1.了解平面向量基本定理及其意义．‎ ‎2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ 知识点一　平面向量基本定理及坐标表示 ‎ ‎1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝______.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．‎ ‎2．平面向量的坐标表示 ‎(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对______叫做向量a的坐标，记作a＝______，其中____叫做a在x轴上的坐标，____叫做a在y轴上的坐标．‎ ‎(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是______的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为______，反之亦成立．(O是坐标原点)‎ 答案 ‎1．不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2　基底 ‎2．(1)(x，y)　(x，y)　x　y ‎(2)A点　(x，y)‎ ‎1．平面内任何两个向量都可以做为一组基底吗？‎ 解：不能，共线的两个向量不可以．‎ ‎2．已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，若用a，b表示，则＝________.‎ 解析：＝＋＝＋＝＋＝.‎ ‎∵＝b－a，∴＝b－a，则＝＋＝a＋＝a＋b.‎ 答案：a＋b ‎3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.‎ 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.‎ 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，‎ 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(‎2m＋n)e2.‎ 由平面向量基本定理，得 所以 答案：　－ 知识点二　平面向量的坐标运算 ‎ ‎1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝__________________________________________________________________________________；‎ ‎2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______________；‎ ‎3．若a＝(x，y)，则λa＝________；‎ ‎4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__________.‎ 答案 ‎1．(x1±x2，y1±y2)　2.(x2－x1，y2－y1)‎ ‎3．(λx，λy)　4.x1y2＝x2y1‎ ‎4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ 解析：根据题意得＝(3,1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.‎ 答案：A ‎5．(必修④P108习题‎2.4A第7题改编)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)‎ A．－ B. C．－2 D．2‎ 解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(‎2m－n,‎3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.‎ 答案：A 热点一　平面向量基本定理的应用 ‎ ‎【例1】　‎ 如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.‎ ‎(1)用a和b表示向量，；‎ ‎(2)若＝λ，求实数λ的值．‎ ‎【解】　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝‎2a－b，＝－＝(‎2a－b)－b＝‎2a－b.‎ ‎(2)由题意知，∥，故设＝x.‎ 因为＝－＝(‎2a－b)－λa ‎＝(2－λ)a－b，＝‎2a－b.‎ 所以(2－λ)a－b＝x.‎ 因为a与b不共线，由平面向量基本定理，‎ 得解得 故λ＝.‎ ‎【总结反思】‎ 应用平面向量基本定理的注意事项 ‎(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．‎ ‎(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．‎ ‎(3)强化共线向量定理的应用.‎ ‎(2017·福州模拟)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．‎ 解析：因为＝＋，所以3＝2＋，‎ 即2－2＝－，‎ 所以2＝.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，‎ 又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.‎ 所以＝－＝λ－ ‎＝λ－＝＋，‎ 又＝t＝t(－)‎ ‎＝t＝－t.‎ 故解得故t的值是.‎ 答案： 热点二 平面向量的坐标运算 ‎ ‎【例2】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ ‎(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ ‎【解析】　(1)因为a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以ma＋nb＝m(2,1)＋n(1，－2)＝(‎2m＋‎ n，m－2n)，又因为ma＋nb＝(9，－8)．所以解得所以m－n＝－3.‎ ‎(2)以向量a，b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系如图，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即 解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.‎ ‎【答案】　(1)－3　(2)4‎ 在本例题(2)中，试用a，c表示b.‎ 解：建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，设b＝xa＋yc，则(6,2)＝x(－1，1)＋y(－1，－3)．‎ 即解得故b＝－‎4a－‎2c.‎ ‎【总结反思】‎ 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想.‎ ‎(1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－2,1)‎ C．(－1,0) D．(－1,2)‎ ‎(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(－2，－4) B．(－3，－5)‎ C．(3,5) D．(2,4)‎ 解析：(1)a＝，b＝，故a－b＝(－1,2)．‎ ‎(2)由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．‎ 答案：(1)D　(2)B 热点三 平面向量共线的坐标表示 ‎ 考向1　利用向量共线求参数值 ‎【例3】　(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ ‎【解析】　由题意得，－‎2m－12＝0，所以m＝－6.‎ ‎【答案】　－6‎ 考向2　利用向量共线解决平面几何问题 ‎【例4】　(2017·浙江杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　如图，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)．‎ ‎∵AP＝，∴x2＋y2＝.‎ 点P满足的约束条件为 ‎∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)‎ ‎∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)．‎ ‎∴∴x＋y＝λ＋μ.‎ ‎∵x＋y≤＝＝，当且仅当x＝y时取等号，‎ ‎∴λ＋μ＝x＋y的最大值为.‎ ‎【答案】　B 考向3　利用向量共线解决三点共线问题 ‎【例5】　(2017·郑州模拟)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎【解析】　＝－＝(4－k，－7)．‎ ＝－＝(－2k，－2)．‎ 因为A，B，C三点共线，所以，共线，‎ 所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，‎ 解得k＝－.‎ ‎【答案】　A ‎【总结反思】‎ ‎(1)①利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y‎1”‎解题比较方便．‎ ‎②利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎(2)A、B、C三点共线⇔与共线.‎ ‎(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则k＝________.‎ 解析：(1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2，设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)．‎ ‎∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)．‎ ‎∴解得故点D的坐标为(2,4)．‎ ‎(2)若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ 答案：(1)(2,4)　(2)1‎ ‎1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ ‎2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．‎ ‎3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．‎ 向量问题坐标化 向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．‎ ‎【例】　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ ‎【解】　‎ 以O为坐标原点、所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.‎ 设∠AOC＝α(α∈[0，])，‎ 则C(cosα，sinα)．‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin(α＋)，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.‎ 解题策略：本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势．‎