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- 2021-06-24 发布
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湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二下学期期中考试 数学（理）
考试范围：集合与逻辑，排列组合，二项式定理，概率与统计，空间向量与立体几何，
解析几何，函数与导数
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={x|x(x-3)<0}，B={-1,0，1，2，3}，则A∩B=( )
A. {-1} B. {1,2} C. {0,3} D. {-1,1，2，3}
2. 命题“∀x∈(0,1)，x2-x<0”的否定是( )
A. ∃x0∉(0,1)，x02-x0≥0 B. ∃x0∈(0,1)，x02-x0≥0
C. ∀x0∉(0,1)，x02-x0<0 D. ∀x0∈(0,1)，x02-x0≥0
3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 执行如图所示的程序框图.如果输入的x=10，则输出y的值是( )
A. 12 B. -12 C. 32 D. -32
5. 设X~B(10,0.8)，则D(2X+1)等于( )
A. 1.6 B. 3.2 C. 6.4 D. 12.8
6. 函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A. [-2,2] B. [-1,1] C. [0,4] D. [1,3]
7. 在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x+2y≤8的概率为( )
A. 14 B. 316 C. 916 D. 34
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
m
8. 某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如右表：
根据上表可得回归方程y=9x+10.5，则m为( )
A. 54 B. 53 C. 52 D. 51
1. 已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. 212 B. 211 C. 210 D. 29
2. 把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安排方法的种数是( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 240
3. 三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60∘，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. 33 B. 66 C. 34 D. 36
4. 已知函数f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若关于x的不等式f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,e2] B. (0,e2) C. [1,e2] D. (1,e2)
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
5. 已知i是虚数单位，则2i1+i= ______；
6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______cm3 ；
7. 已知随机变量ξ~N1,δ2，若Pξ>3=0.2，则Pξ≥-1=______；
8. 已知椭圆x23+y24=1的一个焦点恰为抛物线x2=2pyp>0的焦点F，设抛物线的准线l与y轴的交点为M，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若以线段BM为直径的圆过点A，则AB=______.
三、 解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一） 必考题：共60分。
9. （本小题满分12分）
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC=2acosA．
(1) 求A；
(2) 若a=2，且ΔABC的面积为3，求ΔABC的周长．
1. （本小题满分12分）
如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90∘，BE//CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点.将△EDA沿AD折到△PDA位置(如图2)，连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若PA⊥平面ABCD，求二面角B-PC-D的大小.
2. （本小题满分12分）
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
(1)求该学生没有考上大学的概率；
(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
3. （本小题满分12分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的一个焦点为F(2,0)，且离心率为63．
(1)求椭圆方程；
(2)斜率为k的直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．
1. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明:f(x)≤-34a-2．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为x=55ty=255t-1(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ-4sinθ
(1)将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程；
(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离．
3. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|．
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围．
2019年上期衡阳市八中高二期中考试试题
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
B
C
D
D
A
D
C
B
B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1+i；14、；15、0.8；16、2+25.
由椭圆方程易知焦点坐标为F0,1，抛物线方程为x2=4y，很明显直线AB的斜率存在且斜率不为0，设直线AB的斜率为k，AB的方程为x=my-1，其中m=1k，
联立直线方程与抛物线方程可得m2y2-2m2+4y+m2=0，解得：y=m2+2±2m2+1m2，则y1+y2=4m2+2，
设Ax1,y1，Bx2,y2，以线段BM为直径的圆过点A，则kAB⋅kAM=-1，即：1m⋅y1+1x1=-1，结合x1=my1-1可得y1=m2-1m2+1，据此有：m2-1m2+1=m2+2-2m2+1m2，整理可得：m4-m2-1=0，解得：m2=1+52(负根舍去)，结合弦长公式可得：AB=y1+y2+p=4m2+2+1=2+25.
三、 解答题：共70分。
（一） 必考题：共60分。
17、【答案】(1)∵ccosB+bcosC=2acosA，∴sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA，
∴sin(B+C)=2sinAcosA，∴sinA=2sinAcosA，∵A∈(0,π)，
∴sinA≠0，∴cosA=12，∴A=π3；
(2)∵∆ABC的面积为3，∴12bcsinA=34bc=3，∴bc=4，由a=2，A=π3及a2=b2+c2-2bccosA，
得4=b2+c2-4，∴b2+c2=8，又bc=4，∴b=c=2．故∆ABC周长为6．
18、【答案】证明：(Ⅰ)在图1中，∵AB//CD，AB=CD，
∴ABCD为平行四边形，∴AD//BC，
∵∠B=90∘，∴AD⊥BE，
当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，AB⊂面PAB,PA⊂面PAB∴AD⊥平面PAB，
又∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．
解：(Ⅱ)①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于PA⊥平面ABCD
则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，1)，D(0,1，0)
PC=(1,1，-1)，BC=(0,1，0)，DC=(1,0，0)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y，z)，
则PC⋅n=x+y-z=0BC⋅n=y=0，取z=1，得n=(1,0，1)，
设平面PCD的法向量m=(a,b，c)，
则m⋅PC=a+b-c=0m⋅DC=a=0，取b=1，得m=(0,1，1)，
设二面角B-PC-D的大小为θ，可知为钝角，
则cosθ=-|m⋅n||m|⋅|n|=-12×2=-12，∴θ=120∘．
19、【答案】解：(1)记“该生没有考上大学”的事件为事件A∴根据题意可得：
∴(2)由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，
∴P(X=2)=(13)2=19，P(X=3)=C21⋅13⋅23⋅13=427，
P(X=4)=C31⋅13⋅(23)2⋅13=427，P(X=5)=C41⋅13⋅(23)3+(23)4=1627.
∴X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
19
427
427
1627
∴X的数学期望为：E(X)=2×19+3×427+4×427+5×1627=389.
20、【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆x2a2+y2b2=1的一个焦点为F(2,0)，且离心率为63．
∴c=2，ca=63，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．∴椭圆方程为x26+y22=1.
(Ⅱ)直线l的方程为y=k(x-2)．联立方程组y=k(x-2)x26+y22=1.，消去y并整理，得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2).故x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2-63k2+1．则|AB|=1+k2|x1-x2|
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=26(k2+1)3k2+1．设AB的中点为
M(x0,y0).可得x0=6k23k2+1，y0=-2k3k2+1．直线MP的斜率为-1k，又 xP=3，所以|MP|=1+1k2⋅|x0-xP|=k2+1k2⋅3(k2+1)(3k2+1)．
当△ABP为正三角形时，|MP|=32|AB|，∴k2+1k2⋅3(k2+1)(3k2+1)=32⋅26(k2+1)3k2+1，
解得k=±1．∴直线l的方程为x-y-2=0，或x+y-2=0．
21、【答案】(1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
求导f'(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x，(x>0)，
①当a=0时，f'(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
③当a<0时，令f'(x)=0，解得：x=-12a．因为当x∈(0,-12a)f'(x)>0、当x∈(-12a,+∞)f'(x)<0，所以y=f(x)在(0,-12a)上单调递增、在(-12a,+∞)上单调递减．
综上可知：当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在(0,-12a)上单调递增、在(-12a,+∞)上单调递减；
(2)证明：由(1)可知：当a<0时f(x)在(0,-12a)上单调递增、在(-12a,+∞)上单调递减，所以当x=-12a时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(-12a)=-1-ln2-14a+ln(-1a).从而要证f(x)≤-34a-2，即证f(-12a)≤-34a-2，即证-1-ln2-14a+ln(-1a)≤-34a-2，即证-12(-1a)+ln(-1a)≤-1+ln2．
令t=-1a，则t>0，问题转化为证明：-12t+lnt≤-1+ln2.…(*)
令g(t)=-12t+lnt，则g'(t)=-12+1t，令g'(t)=0可知t=2，则当00，当t>2时g'(t)<0，所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+∞)上单调递减，即g(t)≤g(2)=-12×2+ln2=-1+ln2，即(*)式成立，所以当a<0时，f(x)≤-34a-2成立．
（二）必考题：共10分。
22、【答案】解：(1)曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为x=55ty=255t-1(t为参数)，
消去参数t可得普通方程：y=2x-1．由曲线C2：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ2=ρ(2cosθ-4sinθ)，
可得直角坐标方程：x2+y2=2x-4y．
法一：(2)x2+y2=2x-4y.化为(x-1)2+(y+2)2=5．
可得圆心C2(1,-2)，半径r=5．∴曲线C1和C2两交点之间的距离=25-(2+2-112+22)2=855．
法二：(2)x2+y2=2x-4y.化为(x-1)2+(y+2)2=5，将直线方程代入得：
23、【答案】解：(1)∵fx=x+1-x-2=-32x-1,3x<-1-1≤x≤2x>2,f(x)≥1,
∴当-1≤x≤2时，2x-1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，3≥1恒成立，故x>2；
综上，不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)-x2+x≥m成立，即m≤[f(x)-x2+x]max，设g(x)=f(x)-x2+x．
由(1)知，gx=-x2+x-3-x2+3x-1-x2+x+3,x≤-1-1-1，∴g(x)≤g(-1)=-1-1-3=-5；当-1
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