2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校（师大附中分校）高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 15页

哈师大青冈实验中学2017-2018学年度第二学期期中考试 高二数学理试题 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1. 由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为 A．　　 B． C．ln 2 D．2ln 2‎ ‎ ‎ ‎2. 命题“若，则 ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有 ‎ A.0个 B. 2个 C.3个 D. 4个 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知 三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为 ‎ ‎ A.10 B.12 C.18 D. 24‎ ‎4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ， 的值分别为 ‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎ ‎ 5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及公式算得：，参照附表得到的正确结论是 ‎ ‎.841‎ ‎ A. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎ B. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ C. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ D. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎6. 已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输 入的 ， 分别为 ，，执行该程序框图（图中“”表示 除以 的余数，例：），则输出的 等于 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 8. 如图所示的程序框图中，若输出的是 ，则①处应填 A. B. C. D. ‎ ‎9. 命题“，”的否定是 ‎ A. ，B. ，‎ ‎ C. ，D. ，‎ ‎10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是 A . B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 A. 4 B. 2 C. D. ‎ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为 ．‎ ‎14. 给出下列等式：‎ ‎ ‎ ‎ 由以上等式推出一个一般结论：对于  ．‎ ‎ ‎ ‎15.已知命题，使；命题的解集是．下列结论：‎ ‎①命题“”是假命题； ②命题“”是假命题； ③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．其中正确的是　 　．（填所有正确命题的序号）‎ ‎16.已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为 .‎ 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分） 在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（1）求棱的长；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题12分）设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0。‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值。‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎19. （本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的数量，（天）为销售天数）：‎ ‎（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据（1）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进25吨，预计需要销售多少天？‎ ‎（参考数据和公式：，‎ ‎ ，．）‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下 频率分布直方图．‎ ‎（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；‎ ‎（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题12分）已知椭圆 ‎（1）若椭圆的离心率为，求的值；‎ ‎（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎22.（本小题12分）已知函数 ‎(1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；‎ ‎(2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 哈师大青冈实验中学2017-2018年度高二下学期期中考试（答案） ‎ 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1. 由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为(　D　)‎ A．　　 B． C．ln 2 D．2ln 2‎ ‎ ‎ ‎2. 命题“若，则 ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ B ）‎ ‎ A.0个 B. 2个 C.3个 D. 4个 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知 三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为 （ A ）‎ ‎ A.10 B.12 C.18 D. 24‎ ‎4. 如图所示中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ， 的值分别为（ C ）‎ ‎ ‎ ‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎ ‎ ‎5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表并由公式算得：，‎ ‎ 参照附表得到的正确结论是 （ C ）‎ ‎ A. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎ B. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ C. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ D. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎6. 已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是（ A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．‎ 若输入的 ， 分别为 ，，执行该程序框图（图中“”表示 ‎ 除以 的余数，例：），则输出的 等于 （ C ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 阅读如图所示的程序框图，若输出的是 ，则①处应填 （ B ）‎ ‎ ‎ A. B. C.D. ‎ ‎9. 命题“，”的否定是 （ B ）‎ ‎ A. ， B. ，‎ ‎ C. ， D. ，‎ ‎10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为 （ D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是（ A ）‎ A . B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ B ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为 150 ．‎ ‎14. 给出下列等式：‎ ‎ ‎ ‎ 由以上等式推出一个一般结论：对于．‎ ‎ ‎ ‎15.已知命题，使，命题的解集是．下列结论：‎ ‎①命题“”是假命题； ②命题“”是假命题；‎ ‎③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．‎ 其中正确的是　 ② ③ 　．（填所有正确命题的序号）‎ ‎16.已知圆，圆，直线圆分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为 6 .‎ ‎ ‎ 三． 解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）‎ ‎ 17.（本小题10分） 在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（1）求棱的长；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎17.【答案】（1）3（2）‎ ‎18. （本小题12分）设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0。‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值。‎ ‎18.‎ 得b＝－12。------------------------------6分[]‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，‎ 所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0， ‎ 即6(x－1)(x＋2)＝0，‎ 解得x＝－2或x＝1，‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；‎ 当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，‎ 即f(x)在(－2,1)上单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增。‎ 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，‎ 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6。-----------------12分 ‎19. （本小题12分）‎ 为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的质量，（天）为销售天数）：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 参考公式：，．‎ ‎（1）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；‎ ‎ ‎ ‎（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；‎ ‎（3）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天．‎ ‎ ‎ 解：（1） 散点图如图所示：‎ ‎ （2） 依题意，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 所以 ，‎ 所以回归直线方程为 ．‎ ‎    （3） 由（Ⅱ）知，当 时，．‎ 即若一次性买进蔬菜 吨，则预计需要销售 天．‎ ‎20. （本小题12分）‎ 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，理得到如下频率分布直方图．‎ ‎ ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；‎ ‎（3）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1） 根据题意得：．‎ 解得 ．‎ ‎    （2） 设样本中男生身高的平均值为 ，则 ‎ ‎ 所以估计该市中学全体男生的平均身高为 ．‎ ‎    （3） 从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在 以上的概率约为 ．‎ 由已知得，随机变量 的可能取值为 ，，，．‎ 所以 ；；；．‎ 随机变量 的分布列为 因为 ，所以 ．‎ ‎21. （本小题12分）‎ ‎ 已知椭圆 ‎（1）若椭圆的离心率为，求的值；‎ ‎（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1） 因为 ，，所以 ．‎ 又 ，所以有 ，‎ 得 ．‎ ‎    （2） 若存在点 ，使得 ，‎ 则直线 和 的斜率存在，‎ 分别设为 ，，且满足 ．‎ 依题意，直线 的斜率存在，‎ 故设直线 的方程为 ．‎ 由 ‎ 得 ．‎ 因为直线 与椭圆 有两个交点，‎ 所以 ．‎ 即 ，‎ 解得 ．‎ 设 ，，‎ 则 ，，‎ ‎ ，．‎ 令 ，‎ 即 ，‎ 即 ，‎ 当 时，，‎ 所以 ，‎ 化简得，，‎ 所以 ．‎ 当 时，检验也成立．‎ 所以存在点 ，‎ 使得 ．‎ ‎22.（本小题12分）已知函数 ‎(1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；‎ ‎(2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.解: (1) 定义域为,直线的斜率为,‎ ‎,,.所以 ‎ 由; 由 所以函数的单调增区间为,减区间为.---------------6分 ‎(2) ，且对时，恒成立 ‎,即.‎ 设.‎ 当时, ,‎ 当时, ,.‎ 所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以a>1.[‎ ‎ 所以实数的取值范围为.-------------------12分 ‎（法二）讨论法 ‎，在上是减函数，在上是增函数.‎ 当≤时，≥，解得，∴≤.‎ 当时，，解得，∴.‎ 综上.‎