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- 2021-06-24 发布
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第十二章概 率
第一讲 随机事件的概率
1.[易错题]将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上的恰有5次”是( )
A.必然事件 B.随机事件
C.不可能事件 D.无法确定
2.[2018全国卷Ⅲ,5,5分]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
3.把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,记事件A为“甲分得语文书”,事件B为“乙分得数学书”,事件C为“丙分得英语书”,则下列说法正确的是( )
A.A与B是不可能事件
B.A+B+C是必然事件
C.A与B不是互斥事件
D.B与C既是互斥事件也是对立事件
4.某人要去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.他乘火车或乘飞机去的概率为 .
5.[2019潍坊调研]甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙不输的概率是 .
6.[2020石家庄高三摸底考试]有一匀速转动的圆盘,圆盘上有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘2米处,向圆盘抛掷小圆环,已知甲、乙两人抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15,现甲、乙两人分别向圆盘各抛掷一次小圆环,则小目标M被套上的概率为 .
考法1求随机事件的频率与概率
1 [2019河北衡水二模]某商店销售某海鲜,现统计了该商店春节前后50天海鲜的需求量x(10≤x≤20,单位:千克),得到频率分布直方图如图12 - 1 - 1所示,已知该商店每天进该海鲜1次,商店每销售1千克可获利50元.若供大于求,剩余的低价处理,每处理1千克亏损10元;若供不应求,可从其他商店调拨,销售1千克可获利30元.假设该商店在此期间每天进该海鲜14千克,商店的日利润为y(单位:元).
(1)求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式. 图12 - 1 - 1
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,视频率为概率.
①求这50天该商店销售该海鲜的日利润的平均数;
②估计日利润在区间[580,760)内的概率.
(1)根据不同的需求量,列出函数表达式即可.(2)①利用频率分布直方图估计平均数,结合利润函数得到平均利润;②根据利润区间,求出需求量x所在区间,从而求出对应的概率即可.
(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为
y=50x-10×(14-x),10≤x<14,50×14+30×(x-14),14≤x≤20,(分段找关系)
化简得y=60x-140,10≤x<14,30x+280,14≤x≤20.
(2)①由频率分布直方图得:
海鲜需求量在区间[10,12)内的频率是2×0.08=0.16;
海鲜需求量在区间[12,14)内的频率是2×0.12=0.24;
海鲜需求量在区间[14,16)内的频率是2×0.15=0.30;
海鲜需求量在区间[16,18)内的频率是2×0.10=0.20;
海鲜需求量在区间[18,20]内的频率是2×0.05=0.10.
所以这50天商店销售该海鲜的日利润y的平均数为:
(11×60 - 140)×0.16+(13×60 - 140)×0.24+(15×30+280)×0.30+(17×30+280)×0.20+(19×30+280)×0.10=
83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).
②易知y=60x-140,10≤x<14,30x+280,14≤x≤20在区间[10,20]上单调递增,(判断单调性)
当y=580时,可得x=12,当y=760时,可得x=16.(求解端点值)
所以日利润y在区间[580,760)内的概率即为海鲜需求量x在区间[12,16)内的频率,即0.24+0.30=0.54.
1.[2018北京,17,13分]电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
考法2求互斥事件、对立事件的概率
2某超市有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C.求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解.
(1)由题意得P(A)=11000,P(B)=101000=1100,P(C)=501000=120.
故事件A,B,C发生的概率分别为11000,1100,120.
(2)1张奖券中奖可能是中特等奖、一等奖或二等奖.
设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.
因为事件A,B,C两两互斥,(A,B,C三个事件中任意两个均不可能同时发生)
所以P(M)=P(A∪B∪C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=1+10+501000
=611000…(事件M发生的概率可拆为三个互斥事件发生的概率之和)
故1张奖券中奖的概率为611000.
(3)抽1张奖券的结果共有4种可能:中特等奖,中一等奖,中二等奖,不中奖.其中,事件“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”包含2种可能:中二等奖和不中奖.
解法一 (正面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,设“1张奖券不中奖”为事件D.
由(2)得,P(D)=1 - P(M)=1 - 611000=9391000,(“1张奖券中奖”与“1张奖券不中奖”是对立事件)
所以P(N)=P(C)+P(D)=120+9391000=9891000.(事件C与D是互斥事件)
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.
解法二 (反面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以P(N)=1 - P(A∪B)=1 - (11000+1100)=9891000.(利用了补集思想求概率)
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.
2.[2019山东烟台模拟]已知甲袋中有1个红球、1个黄球,乙袋中有2个红球、1个黄球,这些小球除颜色外完全相同,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为( )
A.13 B.12 C.23 D.56
数学应用 通过数据分析求解概率问题
3随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任选一天,估计该市在该天不下雨的概率;
(2)已知该市某学校在该年4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
(1)用频率估计概率→据表计算该市在该天不下雨的概率
(2)找出从晴天开始的两个日期(称为互邻日期对)的总数→计算出第二天不下雨的总数→计算频率即为要估计的概率
(1)由表可知,在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,用频率估计概率,在4月份任选一天,该市在该天
不下雨的概率为2630=1315.
(2)称相邻的两个日期为互邻日期对(如1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为1416=78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
数据分析
从所给的表中提取数据,并用概率的相关知识进行分析处理.
二
数学运算
计算概率.
一
备考指导
本题从所给的一个月的天气情况中收集数据,计算频率,再用频率估计概率,根据概率的意义解决问题,考查了考生的数据收集与数据处理的能力,考查了考生的数据分析素养.解决本题第二问的关键有如下两点:
一是正确理解题意:“从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会”即是选择“从晴天开始的连续两天”的互邻日期对作为一个“基本事件”.二是从表中提取信息:根据表中数据准确数出互邻日期对的个数.
这类数据分析应用问题是近年来高考的一个热点内容,概率知识来源于生活,也应用于生活,要善于从实际问题中提取数据,用相关的数学知识处理数据,再回到实际中去解决实际问题.一般地,这类题的题干较长,数据信息繁杂,做题时要耐心、仔细读题审题,理解题意,从实际问题中抽出所需要的数据信息,再综合分析这些信息,从而找到解决问题的突破口.
327
1.B 抛掷10次硬币,正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,所以“正面向上的恰有5次”是随机事件.故选B.
2.B 设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1 - P(A) - P(B)=1 - 0.45 - 0.15=0.4.故选B.
3.C 事件A,事件B,事件C都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故A,B两项错误;事件A,事件B可能同时发生,故事件A与事件B不互斥,C项正确;事件B与事件C既不互斥,也不对立,D项错误.故选C.
【方法总结】 互斥、对立事件的两种判断方法
定义
法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断.不可能同时发生的两个事件为互斥事件,两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
集合
法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
4.0.7 设此人乘火车、飞机去开会分别为事件A,B,则易知事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
5.56 乙不输包含两人下成和棋和乙获胜,易知它们是互斥事件,所以乙不输的概率为12+13=56.
6.25 小目标M被套上包括:甲抛掷的小圆环套上了、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上了、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上了.所以小目标M被套上的概率P=14×(1 - 15)+(1 - 14)×15+14×15=25.
1.(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率为502000=0.025.
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为1 - 3722000=0.814.
(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
2.D 甲袋中有1个红球、1个黄球,乙袋中有2个红球、1个黄球,
现从两袋中各随机取一个球,基本事件总数n=C21C31=6,
取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球,
所以利用对立事件概率计算公式得,取出的两球中至少有1个红球的概率P=1 - C11C116=56.故选D.