【数学】2019届一轮复习人教A版（文）选修4-4第二节参数方程学案 13页

选修4－4 坐标系与参数方程 第二节参数方程 ‎1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．‎ ‎(4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎1．在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为 (t为参数)，则其普通方程为____________．‎ 解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________.‎ 解析：由(φ为参数)得，＋＝1，‎ 当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．‎ 所以|AB|min＝2×＝.‎ 答案： ‎3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________．‎ 解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．‎ 答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为________________________________________________________________________．‎ 解析：将直线l的参数方程代入x2＋＝1，‎ 得2＋＝1，‎ 即7t2＋16t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝.‎ 答案： 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 参数方程与普通方程的互化是每年高考的热点内容，常与极坐标、直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，属于基础题．‎ ‎1．将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ 解：(1)∵2＋2＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝1.‎ ‎∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.‎ 又x＝，∴x≠0.‎ 当t≥1时，00)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝－2.‎ ‎(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；‎ ‎(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．‎ 解：(1)由ρcos＝－2，‎ 得(ρcos θ－ρsin θ)＝－2，‎ 化成直角坐标方程，得(x－y)＝－2，‎ 即直线l的方程为x－y＋4＝0.‎ 依题意，设P(2cos t,2sin t)，‎ 则点P到直线l的距离 d＝＝ ‎＝2＋2cos.‎ 当cos＝－1时，dmin＝2－2.‎ 故点P到直线l的距离的最小值为2－2.‎ ‎(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，‎ ‎∴对∀t∈R，有acos t－2sin t＋4>0恒成立，‎ 即cos(t＋φ)>－4恒成立，‎ ‎∴<4，‎ 又a>0，∴00，即a>0，‎ t1＋t2＝，t1·t2＝.‎ 根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，‎ 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，‎ 即t1＝2t2或t1＝－2t2.‎ ‎∴当t1＝2t2时，有 解得a＝，符合题意．‎ 当t1＝－2t2时，有 解得a＝，符合题意．‎ 综上，实数a＝或a＝.‎ ‎3．(2018·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．‎ 解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为 ‎(x－4)2＋(y－5)2＝9，‎ 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式，‎ 得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C‎1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，‎ 则kC‎1C2＝＝1，‎ ‎∴直线C‎1C2的方程为x－y＋1＝0，‎ ‎∴点O到直线C‎1C2的距离d＝＝，‎ 又|AB|＝|C‎1C2|－1－3＝－4‎ ‎＝4－4，‎ ‎∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.‎ ‎4．(2018·广州综合测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ 解：(1)由(t为参数)消去t得x＋y－4＝0，‎ 所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.‎ 由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ，‎ 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，‎ 得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)法一：设曲线C上的点P(1＋cos α，1＋sin α)，‎ 则点P到直线l的距离d＝＝＝.‎ 当sin＝－1时，dmax＝2.‎ 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.‎ 法二：设与直线l平行的直线l′：x＋y＋b＝0，‎ 当直线l′与圆C相切时，＝，‎ 解得b＝0或b＝－4(舍去)，‎ 所以直线l′的方程为x＋y＝0.‎ 因为直线l与直线l′的距离d＝＝2.‎ 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎6．已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．‎ 解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，‎ 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，‎ 由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，‎ 设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，‎ 则点P到直线L的距离d＝.‎ 由题意得|PA|＝＝，‎ 所以当sin＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ ‎7．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.‎ ‎(1)求曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．‎ 解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，‎ 所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ 故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 所以曲线C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos θ，sin θ)，‎ 则l＝8cos θ＋4sin θ＝4sin(θ＋φ)， 所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为4，此时θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)，‎ 所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，‎ 此时A.‎ 所以直线l1的普通方程为x－4y＝0.‎ ‎8．(2018·成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．‎ 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，‎ 即ρ＝4sin θ.‎ 由ρ＝2，得sin θ＝，‎ ‎∵θ∈，∴θ＝.‎ ‎(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立解得ρ＝4.‎ ‎∴点B的极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.‎