2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（测）（解析版） 13页

专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 ‎ ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ ‎(一)选择题(12*5=60分)‎ ‎1．【山东省潍坊市2020届高三上学期期末】已知动圆C的圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＋1＝0相切，则此动圆C必过定点(　　)‎ A．(1,0)　 B．(－1,0) C．(0,1)　 D．(0，－1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，而动圆C与直线x＋1＝0相切，即圆心C到准线的距离等于圆的半径r，故圆C过焦点F(1,0)。故选A。‎ ‎2．(2020·湖南高一期末)直线过定点，若直线过点且与平行，则直线的方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得：，直线过定点，‎ 又直线的斜率且与直线平行，直线斜率为直线的方程为：，即：。‎ ‎3．(2019·江苏省如东高级中学高一期中)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.‎ ‎4．(2019·重庆高二期末)已知过原点的动直线与椭圆交于，两点，为椭圆的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知，可设，，则，‎ 又在椭圆上，故，即，所以.故答案为：.‎ ‎5．(2020·湖北高三月考(文))已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线为,联立,消去可得,设,,所以,因为,即,所以,所以,‎ 所以,所以直线一定过点,‎ ‎6．(2019·河北衡水中学高三月考(理))已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,实数满足，即 ‎，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数的图象是过点，斜率为的直线，要使得不等式恒成立，即恒成立，结合图象可知，当直线过点时，斜率取得最小值 ，‎ 所以实数的取值范围是，故选D. ‎ ‎7．(2019·湖南长郡中学高二月考)已知抛物线的焦点为是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且同在一个以为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线相切于点，则直线经过的定点的坐标是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，设，都在以同一个以为圆心的圆上，‎ ‎ ，解得，‎ ‎，得，从而得，的方程为，化为，过点，故答案为.‎ ‎8．(2019·重庆市育才中学高一期末)已知非零实数、和1成等差数列，直线与椭圆：恒有公共点，则实数的取值范围为( )‎ A． B．且 C． D．且 ‎【答案】D ‎【解析】因为非零实数、和1成等差数列，所以，即，所以直线方程为，即，由，解得，所以直线过定点，因为与椭圆：恒有公共点，‎ 所以定点在椭圆上或内，所以，即，又表示椭圆，所以且，所以且.‎ ‎9．(2019·重庆南开中学高二期中)设直线与抛物线相交于M、N两点，抛物线的焦点为F，若，则k的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线方程得：，恒过定点，恒过焦点，即共线，设，， ，，‎ 联立消去得：，，解得或(舍)，，，解得：。‎ ‎10．(2019·重庆高二月考)过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，当直线与轴垂直时，，满足题意，当直线与 轴不垂直时，设直线：，联立直线与双曲线方程得：，整理得：，所以， ，又=，解得：，综上：满足这样的直线l的条数为3条 ‎11．(2020·安徽高三月考(理))已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以为圆心，为半径的圆交轴负半轴于点.平行于的直线与抛物线相切于点，则直线必过定点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，设，则，圆的半径为，则，，设点的横坐标为，由，得，则，，直线为，整理得，当时，，即直线必过定点.‎ ‎12．(2020上海高三月考)已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设的方程为,则由.‎ 设,则是该方程的两根,∴,.‎ 又,,故，∴,又,,‎ ‎∴,代入,得：‎ ‎，整理得：,∴,∴或.‎ 当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.故答案为：‎ ‎(二)填空题(4*5=20分)‎ ‎13．(2019·江苏南京师大附中高二期中)已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为________.‎ ‎【答案】2个 ‎【解析】因为直线方程为所以直线过定点，定点在椭圆上，又因为，所以直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点为2个.故答案为：2个 ‎14．(2019·重庆高二期末(理))已知抛物线的焦点到准线的距离为1,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为__________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点到准线的距离为1，∴，设直线与抛物线的交点坐标为，，当直线斜率不存在时，直线方程为，交点坐标为，弦长为 ‎，当直线斜率存在时，可设为，联立化简得，∴，故此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为2，故答案为.‎ ‎15．(2019·湖南长沙一中高三月考)在直线上任取一点，过作抛物线的切线，切点分别为、，则直线恒过定点______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，，抛物线方程变为，则，则在点处的切线方程为，化简得，，同理，在点处的切线方程为.‎ 又点的坐标满足这两个方程，代入得：，，则说明，都满足方程，即直线的方程为：，故直线恒过定点.‎ ‎16.【2020届湖北省稳派教育高三上学期联考】4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过动点M(m,0)(00，y0>0)。由M(m,0)，且M是线段PN的中点，可得P(2m，y0)，Q(－2m，y0)，‎ 所以直线PM的斜率k1＝＝，直线QM的斜率k2＝＝，所以＝－3。‎ ‎(三)解答题(6*12=72分)‎ ‎17. 已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；‎ ‎(Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得解得=2．故椭圆的方程为．‎ 设(，0)．因为，所以．直线的方程为，‎ 所以=，即．‎ ‎(Ⅱ)因为点与点关于轴对称，所以，设，则=．‎ ‎“存在点使得=等价”，“存在点使得=”即满足．因为，，，所以．‎ 所以=或．故在轴上存在点，使得=．‎ 点的坐标为或．‎ ‎18.【山东省德州市2020届高三期末联考】已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)过定点 ‎【解析】(1)由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，可解得：‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)设点的坐标分别为，‎ ‎(ⅰ)当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，‎ ‎(ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立，消去得：，‎ 由，有，‎ 由韦达定理得：，，‎ 故，可得：，‎ 可得：，‎ 整理为：，‎ 故有，‎ 化简整理得：，解得：或，‎ 当时直线的方程为，即，过定点不合题意，‎ 当时直线的方程为，即，过定点，‎ 综上，由(ⅰ)(ⅱ)知，直线过定点.‎ ‎19【吉林省高中2020届高三上期末】30．(2015新课标2)已知椭圆C：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎(Ⅱ)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)设直线，，，．‎ 将代入得，‎ 故，．于是直线的斜率，‎ 即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎(Ⅱ)四边形能为平行四边形．因为直线过点，‎ 所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．‎ 由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．‎ 由得，即．‎ 将点的坐标代入直线的方程得，因此．‎ 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．‎ 于是．解得，．‎ 因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ ‎20．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知动直线与焦点坐标为，离心率为的曲线相交于两点(为曲线的坐标原点)，且.‎ ‎(1)求曲线的标准方程； (2)证明：和都为定值.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】(1)∵曲线的离心率为，∴该曲线为椭圆，∵曲线的焦点坐标为，，‎ ‎∴，，∴∴曲线的标准方程为 ‎(2)①当直线的斜率不存在时，当关于轴对称，设，得，，‎ 在椭圆上，得，又∵，得 联立与，可得，∴，同理可得：‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得 ‎，∵，且直线与曲线有两个交点，‎ ‎∴由根与系数关系的，，‎ ‎∴‎ 因为到直线的距离，，∴‎ 令，即有，可推出，得 即，此时 ‎,‎ 综上所述，，‎ ‎21、在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由，所以设是椭圆上任意一点，‎ 则，所以 所以，当时，有最大值，可得，所以 故椭圆的方程为：‎ ‎(Ⅱ)存在点满足要求，使得面积最大．假设直线与圆相 交于不同两点,则圆心到的距离，∴ ①‎ 因为在椭圆上，所以 ②，由①②得：‎ ‎∵所以，‎ 由②得代入上式，得 当且仅当，∴，‎ 此时满足要求的点有四个．此时对应的的面积为．‎ ‎22.【2020届天津市耀华中学高三月考】已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.‎ ‎(1)求该椭圆的方程；‎ ‎(2)若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；‎ ‎(3)在(2)的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 ‎【解析】(1)∵椭圆的一个焦点在直线上，∴，‎ 又，∴，∴该椭圆的方程为.‎ ‎(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎ ，，‎ 设，则， ，‎ ‎∵弦的中点在直线上，∴ ，‎ ‎∴ ，∴，将代入得，‎ 假设在轴上存在定点， ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，即，‎ 当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，此时显然成立，‎ 综上， 轴上存在定点.‎ ‎(3)假设能为等腰直角三角形，则，∴，‎ ‎，‎ ‎ ，又，‎ ‎∴ ，‎ ‎ ，符合(*)，∴在(2)的条件下， 能为等腰直角三角形.‎ ‎ ‎