高考数学考点16 三角恒等变换 22页

1 考点 16 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要 求记忆）. 一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1） ： （2） ： （3） ： （4） ： （5） ： （6） ： 2．二倍角公式 （1） ： （2） ： （3） ： 3．公式的常用变形 ( )C   cos( )   cos cos sin sin    ( )C   cos( ) cos cos sin sin        ( )S   sin( )   sin cos cos sin    ( )S   sin( )   sin cos cos sin    ( )T   tan( )   tan tan π( , , π, )1 tan tan 2 k k            Z ( )T   tan( )   tan tan π( , , π, )1 tan tan 2 k k            Z 2S  sin 2  2sin cos  2C  cos2  2 2 2 2cos sin 1 2sin 2cos 1        2T  tan 2  2 2tan π π π( π , )1 tan 2 2 4 kk k        Z且 2 （1） ； （2）降幂公式： ； ； （3）升幂公式： ； ； ； （4）辅助角公式： ，其中 ， 二、简单的三角恒等变换 1．半角公式 （1） （2） （3） 【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式： tan tan tan( )(1 tan tan )         tan tan tan tantan tan 1 1tan( ) tan( )                2 1 cos2sin 2   2 1 cos2cos 2   1sin cos sin 22   21 cos2 2cos   21 cos2 2sin   21 sin 2 (sin cos )     21 sin 2 (sin cos )     sin cosa x b x 2 2 sin( )a b x    2 2 2 2 cos ,sina b a b a b      tan b a  sin 2   1 cos 2  cos 2   1 cos 2  tan 2   1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin            3 ； ； ； . （2）和差化积公式：+网 ； ； ； . 考向一 三角函数式的化简 1．化简原则 （1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”； （3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求 （1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； （2）式子中的分母尽量不含根号. 3．化简方法 （1）切化弦； （2）异名化同名； （3）异角化同角； （4）降幂或升幂． 1cos cos [cos( ) cos( )]2         1sin sin [cos( ) cos( )]2          1sin cos [sin( ) sin( )]2         1cos sin [sin( ) sin( )]2         sin sin 2sin cos2 2         sin sin 2cos sin2 2         cos cos 2cos cos2 2         cos cos 2sin sin2 2          4 典例 1 化简： . 【 解 析 】 原 式 . 【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次， 切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． (2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值． (3)在化简时要注意角的取值范围. 1． 的化简结果为________． 考向二 三角函数的求值问题 1．给角求值 给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊 角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊 角的三角函数，从而得解. 2．给值求值 已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子． （2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数． （2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 ，则选正、余弦皆可；若角的范 围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 ，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 2 2cos8 2 1 sin8   π(0, )2 π π( , )2 2 5 例如： ， ， ， ， ， . （2）互余与互补关系 例如： ， . （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°. 典例 2 求下列各式的值： （1）cos +cos -2sin cos ; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°. 【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如 和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. 2． 的值为__________． 典例 3 已知 tan(α−β)= ,tan β=− ,且 α,β∈(0,π),则 2α−β= A． B． C． D． 或 【答案】C                       2 ,2                 (2 )        (2 )        2 2        2 2        π 3π( ) ( ) π4 4     π π π( ) ( )3 6 2     π 8 3π 8 π 4 π 8 o o o 2cos55 3sin5 cos5  π 4 π 4 3π 4 π 4 3π 4 6 【解析】因为 tan 2(α−β)= , 所以 tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]= =1. 又 tan α=tan[(α−β)+β]= , 又 α∈(0,π),所以 0<α< . 又 <β<π,所以−π<2α−β<0,所以 2α−β= .故选 C． 【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角 函数值尽可能地缩小角的范围. 3．已知 ，且 . （1）求 的值． （2）求 的值. 典例 4 在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作角 ，角 的终边经过点 . （1）求 的值； （2）求 的值. 【解析】（1）由于角 的终边经过点 ， 所以 ， . .    2 2 122tan 42 11 tan 31 ( )2              4 1 tan2 tan 3 7 4 11 tan2 tan 1 3 7                         1 1 tan tan 12 7 1 11 tan tan 31 2 7                      π 4 π 2 3π 4 14 13)cos(,7 1cos   0 2     2tan  7 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条 件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件 和结论中的角，合理拆、配角. 4．已知 ， ，则 的值为______________. 考向三 三角恒等变换的综合应用 1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成 y=Asin(ωx＋φ)＋t 或 y=Acos(ωx＋φ)＋t 的形式． （2）利用公式 求周期． （3）根据自变量的范围确定 ωx＋φ 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最 值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值． （4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y=Asin(ωx＋φ)＋t 或 y=Acos(ωx＋φ)＋t 的单调区 间． 2．与向量相结合的综合问题 三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的 条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a·b=x1x2 ＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函 数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. 3．与解三角形相结合的综合问题 （1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于 π，可以根据此关系把未知量减少，再用三 角恒等变换化简求解； （2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．   2tan 5   π 1tan 4 4     cos sin cos sin       2π ( 0)T   8 【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个 角均在 内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意. 典例 5 已知函数 . （1）求函数 的对称中心及最小正周期； （ 2 ） 的 外 接 圆 直 径 为 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， . 若 ， 且 ，求 的值. 【解析】（1） . 由 ，得最小正周期为 . 令 ，得 ， 故对称中心为 （ ）. （2）∵ ，∴ . ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， 即 ，即 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ . ∴ . 5．已知向量 ，且 共线，其中 . π(0, )2 ABC△ 2 2 π( ) 4 3sin cos sin 3cos 1 2 3sin 2 2cos2 4sin 2 6f x x x x x x x x           2π π2  π2 π( )6x k k  Z π π 12 2x k ( )k Z π π 012 2 k    ，    sin ,2 , cos ,1  a b ,a b 9 （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的值. 1．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝ A． B． C． D． 2．已知 ，则 的值是 A． B． C． D． 3．已知锐角 满足 ，则 的值为 A． B． C． D． 或 4．已知 ，则 A． B． C． D． 5．已知 为锐角， 为第二象限角，且 ， ，则 A． B． C． D． 6．函数 图象的一条对称轴为 1 2 3 2 3 3 3 24 25 12 25 12 25 24 25 ,  10 2 5sin ,cos10 5     3π 4 π 4 π 6 3π 4 π 4 1 2 1 2 3 2 3 2 10 A． B． C． D． 7．已知 ，则 A． B． C． D．8 8．已知 ，且 ，则 __________． 9．已知 ，则 __________ (填“>”或 “<”)； __________(用 表示). 10．在斜三角形 中， ，则 _____________. 11．已知函数 ，若 为函数 的一个零点，则 __________．@网 12．已知 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 13．在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点为坐标原点 ,始边为 轴的正半轴，终边与单位圆 的交点分 π 4x  π 8x  π 8x   π 4x   cos2 5 π 22sin 4       1 8 8 1 8 5cos 5   ABC tan tan tan tan 1A B A B   C    2 π πsin 2 3sin cos sin sin4 4f x x x x x x              0 0 π0 2x x x       f x 0cos2x  tan 2  πtan 4    2 sin 2 sin sin cos cos2 1        11 别为 ．已知点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ． （1）求 的值； （2）求 的值. 14．已知 , ( ),函数 ,函数 的最小正周期为 ． (1)求函数 的表达式; (2)设 ,且 ,求 的值． 15．已知函数 . （1）求 的单调递增区间； （2）若 ， ，求 的值.   2π π 13cos cos sin2 6 2f x x x x               f x π0 4x     ，   3 6f x  cos2x 12 16．在 中，角 所对的边分别为 ， . （1）求 ； （2）若 ， 的周长为 ，求 的面积. 1．（2016 新课标全国Ⅱ理科）若 cos( −α)= ，则 sin 2α= A． B． C．− D．− 2．（2016 新课标全国Ⅲ理科）若 ，则 A． B． C．1 D． 3．（2017 北京理科）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 ，则 =___________. 4．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知 ， ，则 __________． 5．（2016 四川理科）cos2 –sin2 = . 6．（2016 浙江理科）已知 ，则 A=______，b=________． 7．（2018 浙江）已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ ）． （Ⅰ）求 sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值． ABC△ ABC△ ABC△ 4  5  7 25 1 5 1 5 7 25 3tan 4  2cos 2sin 2   64 25 48 25 16 25 1sin 3  cos( )  sin cos 1α β  cos sin 0α β  sin( )α β  π 8 π 8 22cos sin 2 sin( ) ( 0)x x A x b A      3 4 5 5 ，- 5 13 13 8．（2018 江苏）已知 为锐角， ， ． （1）求 的值；+网 （2）求 的值． 1．【答案】−2sin4 【解析】原式= ， 因为 ， 所以 cos4<0，且 sin4