2017-2018学年云南民族大学附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版） 7页

‎[考试时间：2018年1月30日 8:00至10:00]‎ ‎2017-2018学年云南民族大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷（理）‎ ‎（考试时间 120 分钟 ， 满分 120 分）‎ ‎ 命题人： 审题人：‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|y20)的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．若是正实数，函数在上是增函数，则的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，若P是DC的中点，则|＋2|＝(　　)‎ A. B．2 C．4 D．5 ‎ ‎11．已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y＝2x上，则椭圆D的离心率为(　　)‎ A. －1 B.－ C. D. ‎12．如图所示，点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心，点E为棱B′B的中点，若AB＝1，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．直线AC与直线EC′所成的角为45°‎ B．点E到平面OCD′的距离为 C．直线A′B′与直线AC所成的角为60°‎ D．过点O，E，C的平面截正方体所得截面为菱形 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．(1－x)8的展开式中x6项的系数为________．‎ ‎14．过三点A(1，3),B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=_____．‎ ‎15．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项为，则数列的前项和＝________．‎ ‎16．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an.‎ ‎(1)若是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；‎ ‎(2)若是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.‎ ‎18． (本小题满分12分)‎ 在中，的角平分线与边相交于点，且 ‎.‎ ‎ (Ⅰ)求的长及的值；‎ ‎（Ⅱ）求的长．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：‎ 理财金额 ‎1万元 ‎2万元 ‎3万元 乙理财相应金额的概率 ‎ ‎ 丙理财相应金额的概率 ‎ ‎ ‎(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；‎ ‎(2)若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．‎ ‎20． (本小题满分12分)‎ 如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA＝BC＝CD＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.‎ ‎(1)求证：AB⊥BC；‎ ‎(2)若PA＝，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sinθ.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f＝.‎ ‎(1)若对任意x>0，f<0恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若函数f有两个不同的零点，求实数a的取值范围。‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若原点为O，求△OAB面积的最小值；‎ ‎(2)过A，B作抛物线E的切线，分别为l1，l2，若l1与l2交于点P，当l变动时，求点P的轨迹方程．‎ 理科答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5[]‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B A B D D C A A B D 二、填空题 ‎13、 28 14、 15、 16、‎ ‎17．解：(1)设数列的公差为d，则S1＝a1＝5，S2＝2a1＋a2＝10＋a2＝18，所以a2＝8，d＝a2－a1＝3，an＝5＋3＝3n＋2.4分 ‎(2)设数列的公比为q，则S1＝a1＝3，S2＝2a1＋a2＝6＋a2＝15，‎ 所以a2＝9，q＝＝3，an＝3×3n－1＝3n，8分 所以Sn＝n×3＋×32＋…＋2×3n－1＋3n①，‎ ‎3Sn＝n×32＋×33＋…＋2×3n＋3n＋1②，‎ ‎②－①，得2Sn＝－3n＋(32＋33＋…＋3n)＋3n＋1＝－3n＋＋3n＋1＝－3n－＋＋3n＋1＝，所以Sn＝.12分[来源:]‎ ‎18、（1），（2）‎ ‎19．解：(1)设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P(ξ＋η≥5)＝PP＋PP＋PP＝×＋×＋×＝.4分 ‎(2)X的所有可能的取值为300，400，500，600，700.‎ P＝PP＝×＝，‎ P＝PP＋P(ξ＝2)P(η＝1)＝×＋×＝，‎ P＝PP＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＋PP＝×＋×＋×＝，‎ P＝PP＋P(ξ＝3)P(η＝2)＝×＋×＝，‎ P＝P(ξ＝3)P(η＝3)＝×＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ P ‎10分 E(X)＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝.12分 ‎20．解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，‎ 又BC＝CD，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC.‎ 因为PD⊥DC，所以PB⊥BC.3分 因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BC.‎ 又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.‎ 因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.5分 ‎(2)由BD＝BC＝CD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，‎ 又已知AB＝AD，BD＝PA＝，所以AB＝1.‎ 如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，‎ 则B(0，0，0)，P(0，1，)，C(，0，0)，E（，，），D（，，0），所以＝（，，－)，＝(，，)，＝(，，0).‎ 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，8分 则即取z＝－2，得n＝(3，－，－2)，10分 所以sin θ＝＝‎ ＝.12分 ‎21、（1）由f＝＝＋a＋，得f′＝－＝－，2分 所以f在上单调递增，在上单调递减，所以f≤f＝a＋1，所以a＋1<0，所以实数a的取值范围是.4分 ‎(2) ‎ ‎22、解：(1)由题意可知，F(0，1)，且直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，‎ 联立 ⇒x2－4kx－4＝0.2分 设A，B，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，4分 所以S△AOB＝＝＝＝≥2，‎ 当k＝0时，△OAB的面积最小，最小值为2 .6分 ‎(2)由x2＝4y，得y＝，y′＝，所以l1的方程为y－ ＝ ，即y ＝ －.①‎ 同理可得l2的方程为y ＝ －.②9分 联立①②，得x＝＝2k，y＝－＝－＝＝－1，‎ 所以点P的坐标为，‎ 因为k∈R，所以点P的轨迹方程为y＝－1. 12分