高中数学选修2-2课件1_3_1 56页

1.3 　导数在研究函数中的应用 1.3.1 　函数的单调性与导数 问题 引航 1. 函数的单调性与导数的正负有什么关系 ? 2. 利用导数判断函数单调性的步骤是什么 ? 3. 怎样求函数的单调区间 ? 1. 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间 (a ， b) 内的函数 y=f(x) f′(x) 的正负 f(x) 的单调性 f′(x)>0 单调递 ___ f′(x)<0 单调递 ___ 增 减 2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y=f(x) ，在区间 (a ， b) 上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 ___ 比较 “ _____ ” ( 向上或向下 ) 越小 ___ 比较 “ _____ ” ( 向上或向下 ) 快 陡峭 慢 平缓 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” ，错误的打 “ × ” ) (1) 函数 f(x) 在定义域上都有 f′(x)>0 ，则函数 f(x) 在定义域上单调递增 .( 　　 ) (2) 函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越 “ 陡峭 ” .( 　　 ) (3) 函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大 .( 　　 ) 【 解析 】 1.(1) 错误 . 如函数 f(x)=- 在定义域上都有 f′(x)= >0 ，但函数 f(x) 在定义域上不是单调递增的 . (2) 错误 . 函数在某一点的导数的绝对值越大，函数在该点处的切线斜率的绝对值越大，切线越 “ 陡峭 ” . (3) 正确 . 函数变化越快，对应的导数的绝对值越大 . 答案： (1)× 　 (2)× 　 (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 函数 y=x 3 +x 在 (-∞ ， +∞) 上的图象是 ________( 填 “ 上升 ” 或 “ 下降 ” ) 的 . (2) 若 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a>0) 在 R 上为增函数，则 a ， b ， c 的关系式为 ____________. (3) 函数 y=x 3 +x 2 -5x-5 的单调递增区间是 ____________. 【 解析 】 (1) 由于 y′=3x 2 +1>0 对于任何实数恒成立，所以函数 y=x 3 +x 在 (-∞ ， +∞) 上是增函数，则图象是上升的 . 答案： 上升 (2) 因为 f′(x)=3ax 2 +2bx+c≥0 恒成立， 则 得 a>0 ，且 b 2 ≤3ac. 答案： a>0 ，且 b 2 ≤3ac (3) 令 y′=3x 2 +2x-5>0 ， 得 x< 或 x>1. 答案： (-∞ ， ) ， (1 ， +∞) 【 要点探究 】 知识点 函数的单调性与导数 1. 对函数的单调性与其导数正负的关系的三点说明 (1) 若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0 ，在其余的点恒有 f′(x)>0 ，则 f(x) 仍为增函数 ( 减函数的情形完全类似 ). (2)f(x) 为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a ， b) 都有 f′(x)≥0 且在 (a ， b) 内的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为 0. (3) 特别地，在某个区间内如果 f′(x)=0 ，那么函数 y=f(x) 在这个区间内是常数函数 . 2. 利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 (1) 定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 . (2) 注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点 . (3) 单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开 . 【 微思考 】 (1) 函数 y=f(x) 是定义在 R 上的增函数， f′(x)>0 是否一定成立 ? 提示： 不一定成立 . 例如， y=x 3 在 R 上是增函数，但其在 0 处的导数为零，故 f′(x)>0 是 y=f(x) 在某区间上是增函数的充分不必要条件 . (2) 函数 y=x 2 与 y=x 3 在 y′=0 的点是函数的临界点吗 ? 提示： 因为函数 y=x 2 的导数是 y′=2x ，在 y′=0 的点左边和右边导数符号不同，是函数单调递增与单调递减的临界点；而函数 y=x 3 的导数是 y′=3x 2 ，在 y′=0 的点左边和右边导数符号相同，不是函数单调递增与单调递减的临界点 . 【 即时练 】 设 f(x) 在 (a ， b) 内可导，则 f′(x)<0 是 f(x) 在 (a ， b) 内单调递减的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. 由 f′(x)<0 能够推出 f(x) 在 (a ， b) 内单调递减，但由 f(x) 在 (a ， b) 内单调递减不能推出 f′(x)<0 ，如 f(x)=-x 3 在 R 内为减函数，而 f′(x)=-3x 2 ≤0. 故为充分不必要条件 . 【 题型示范 】 类型一 利用导数判断函数的单调性 【 典例 1】 (1)(2014 · 武昌高二检测 ) 函数 y=f(x) 的图象如图所示，给出以下说法： ① 函数 y=f(x) 的定义域是 [-1 ， 5] ； ②函数 y=f(x) 的值域是 (-∞ ， 0]∪[2 ， 4] ； ③函数 y=f(x) 在定义域内是增函数； ④函数 y=f(x) 在定义域内的导数 f′(x)>0. 其中正确的是 ( 　　 ) A.①② 　　　 B.①③ 　　　 C.②③ 　　　 D.②④ (2) 证明： f(x)=e x + 在 (0 ， +∞) 上是增函数 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中根据图象如何确定函数的定义域和值域 ? 函数的单调性如何 ? 2. 题 (2) 中利用导数证明函数在某区间上是增函数的关键是什么 ? 【 探究提示 】 1. 根据图象在 x 轴上的投影对应的为定义域，在 y 轴上的投影对应的为值域，由于图象为上升的，故在 [-1 ， 3] 和 (3 ， 5] 上为增函数 . 2. 要证明函数在某区间上是增函数，只需证明 f′(x)>0 或 f′(x)≥0 ，但在任何区间上 f′(x) 不恒为 0. 【 自主解答 】 (1) 选 A. 由图可知 f(x) 的定义域为 [-1 ， 3]∪(3 ， 5]=[-1 ， 5] ，所以①对 .f(x) 值域为 (-∞ ， 0]∪[2 ， 4] ，所以②正确 .f(x) 在 [-1 ， 3] 和 (3 ， 5] 上是增函数，但在定义域内不是增函数，所以③错 . 由于函数 y=f(x) 在 x=3 时的导数不存在，故④错 . 故选 A. (2) 因为 f(x)=e x + ，所以 f′(x)=e x -e -x =e -x (e 2x -1) ， 当 x∈(0 ， +∞) 时，由指数函数的性质知 e -x >0 ， e 2x >1 ，所以 f′(x)>0 ，因此函数 f(x)=e x + 在 (0 ， +∞) 上是增函数 . 【 方法技巧 】 利用导数证明或判断函数单调性的思路 【 变式训练 】 下列函数中，在 (0 ， +∞) 上是增函数的是 ( 　　 ) A.y=sin2x B.y=xe x C.y=x 3 -x D.y=-x+lnx 【 解析 】 选 B.(sin2x)′=2cos2x ， x∈(0 ， +∞) 时 cos2x≥0 不恒成立， (xe x )′=e x +x · e x =e x (x+1). 当 x∈(0 ， +∞) 时， e x (x+1)>0 ， (x 3 -x)′=3x 2 -1 在 (0 ， +∞) 上不恒大于等于零 . (-x+lnx)′=-1+ ， 在 x∈(0 ， +∞) 上不恒大于等于零，故选 B. 【 补偿训练 】 求证：函数 y=2x 3 +3x 2 -12x+1 在区间 (-2 ， 1) 内是减函数 . 【 解题指南 】 先求出函数的导数，然后判断导数在此区间上的符号即可 . 【 证明 】 因为 y′=6x 2 +6x-12 =6(x 2 +x-2)=6(x-1)(x+2) ， 当 x∈(-2 ， 1) 即 -20 得 x>1 ， 所以函数 f(x) 的单调递增区间为 (1 ， +∞). 故选 D. (2)y′=(x+ )′=1- = 令 ＞ 0 ，解得 x ＞ 1 或 x ＜ -1. 所以 y=x+ 的单调增区间是 (-∞ ， -1) 和 (1 ， +∞). 令 ＜ 0 ，解得 -1 ＜ x ＜ 0 或 0 ＜ x ＜ 1. 所以 y=x+ 的单调减区间是 (-1 ， 0) 和 (0 ， 1). 【 方法技巧 】 求函数 y=f(x) 单调区间的步骤 (1) 确定函数 y=f(x) 的定义域 . (2) 求导数 y′=f′(x). (3) 解不等式 f′(x)>0 ，解集在定义域内的部分为增区间 . (4) 解不等式 f′(x)<0 ，解集在定义域内的部分为减区间 . 【 变式训练 】 函数 f(x)=lnx-x 的单调递增区间是 ( 　　 ) A.(-∞ ， 1) B.(0 ， 1) C.(0 ， +∞) D.(1 ， +∞) 【 解析 】 选 B.f′(x)= ，令 f′(x) ＞ 0 得 0 ＜ x ＜ 1 ，所以函数 f(x)=ln x-x 的单调递增区间是 (0 ， 1). 【 补偿训练 】 (2014· 株洲高二检测 ) 函数 f(x)= 在区间 (-2 ， 2) 上 ( ) A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先单调递增后单调递减 D. 先单调递减后单调递增 【 解析 】 选 B. 求导函数得： f′(x)=x 2 -x-6 ，令 f′(x)<0 ，可得 x 2 -x-6<0 ，所以 -20. 令 f′(x)=0 ，则 x= 因为在 (-3 ， -1) 上函数不单调， 所以 -3< <-1 ，即 30( 或 f′(x)<0) ，求出参数的取值范围后，再验证参数取 “ = ” 时 f(x) 是否满足题意 . 2. 恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x) 恒成立 ⇒ m≥f(x) max . (2)m≤f(x) 恒成立⇒ m≤f(x) min . 【 变式训练 】 若函数 f(x)=- x 2 +alnx 在区间 (1 ， +∞) 上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.[1 ， +∞) B.(1 ， +∞) C.(-∞ ， 1] D.(-∞ ， 1) 【 解题指南 】 求出 f(x) 的导函数，令导函数小于等于 0 在区间 (1 ， +∞) 上恒成立，分离出 a ，然后利用恒成立问题的思路，求出 a 的范围 . 【 解析 】 选 C.f′(x)=-x+ ，因为 f(x) 在区间 (1 ， +∞) 上是减 函数，所以 f′(x)=-x+ ≤0 在区间 (1 ， +∞) 上恒成立，所以 a≤x 2 在区间 (1 ， +∞) 上恒成立，因为 x 2 ＞ 1 ，所以 a≤1. 故选 C. 【 补偿训练 】 (2014 · 石家庄高二检测 ) 已知函数 f(x)=ax-x 3 ，对区间 (0 ， 1) 上的任意 x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 -x 1 成立，则实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.(0 ， 1) B.[4 ， +∞) C.(0 ， 4] D.(1 ， 4] 【 解题指南 】 先确定函数 f(x) 在区间 (0 ， 1) 上 f′(x)≥1 ，再求导函数，利用分离参数法，即可求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 选 B. 因为对区间 (0 ， 1) 上的任意 x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 -x 1 成立，所以函数 f(x) 在区间 (0 ， 1) 上有 f′(x)≥1 ，因为 f(x)=ax-x 3 ，所以 f′(x)=a-3x 2 ，所以 a-3x 2 ≥1 在区间 (0 ， 1) 上恒成立，所以 a≥4. 故选 B. 拓展类型 利用导数求解不等式问题 【 备选典例 】 (1) 函数 f(x) 的定义域为 R ， f(-2)=2013 ，对任意 x∈R ，都有 f′(x)<2x 成立，则不等式 f(x)>x 2 +2009 的解集为 ( 　　 ) A.(-2 ， 2) B.(-2 ， +∞) C.(-∞ ， -2) D.(-∞ ， +∞) (2)(2013 · 辽宁高考 )① 证明：当 x∈ ［ 0 ， 1 ］时， x≤ sin x≤x. ② 若不等式 对 x∈ ［ 0 ， 1 ］恒成立，求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 选 C. 令 g(x)=f(x)-x 2 -2009 ， 则 g′(x)=f′(x)-2x<0 ，所以函数 g(x) 在 R 上单调递减，而 f(-2)=2013 ，所以 g(-2)=f(-2)-(-2) 2 -2009=0. 所以不等式 f(x)>x 2 +2009 ，可化为 g(x)>g(-2) ， 所以 x<-2. 即不等式 f(x)>x 2 +2009 的解集为 (-∞ ， -2). 故选 C. (2)① 记 F(x)=sin x- x ， 则 F′(x)=cos x- ． 当 x∈(0 ， ) 时， F′(x)=cos x- >cos =0 ， 则 F(x)=sin x- x 在 x∈[0 ， ] 上是增函数， 所以 F(x)≥F(0)=0 ； 当 x∈( ， 1) 时， F′(x)=cos x- =0 ， 则 F(x)=sin x- x 在 x∈( ， 1) 上是减函数， 所以 F(x)≥F(1)=sin 1- >sin =0 ， 故当 x∈ ［ 0 ， 1 ］时， F(x)≥0 ，即 sin x≥ 记 H(x)=sin x-x ，则当 x∈0 ， 1 时， H′(x)=cos x-1<0. 所以 H(x)=sin x-x 在 x∈ ［ 0 ， 1 ］上是减函数， 则 H(x)≤H(0)=0 ， 即 H(x)=sin x-x≤0 ， sin x≤x. 综上，当 x∈ ［ 0 ， 1 ］时， ≤ sin x≤x. ② 由①可知， 当 x∈ ［ 0 ， 1 ］时， ax+x 2 + x 3 +2(x+2)cos x-4 =ax+x 2 + x 3 +2(x+2)(1-2sin 2 )-4 =(a+2)x+x 2 + x 3 -4(x+2)sin 2 ≤(a+2)x+x 2 + x 3 -4(x+2)( ) 2 =(a+2)x. 所以当 a≤-2 时， a+2≤0 ， (a+2)x≤0 ，不等式 ax+x 2 + x 3 +2(x+2)cos x≤4 恒成立． 下面证明，当 a>-2 时，不等式 ax+x 2 + x 3 +2(x+2)cos x≤4 不恒成立． 由①可知， sin 则当 x∈ ［ 0 ， 1 ］时， ax+x 2 + x 3 +2(x+2)cos x-4 =ax+x 2 + x 3 +2(x+2)(1-2sin 2 )-4 =(a+2)x+x 2 + x 3 -4(x+2)sin 2 ≥(a+2)x+x 2 + x 3 -4(x+2)( ) 2 =(a+2)x-x 2 - x 3 ≥(a+2)x- x 2 =- x[x- (a+2)]. 所以存在 x 0 ∈ ［ 0 ， 1 ］ ( 例如， x 0 取 和 中较小者 ) 满足 ax+x 2 + x 3 +2(x+2)cos x-4>0 ，即当 a>-2 时，不等式 ax+x 2 + x 3 +2(x+2)cos x≤4 不恒成立． 综上，实数 a 的取值范围为 (-∞ ， -2 ］ . 【 方法技巧 】 利用导数证明不等式的解题技巧 (1) 构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值 . (2) 证明 f(x)>g(x) ， x∈(a ， b) ，等价转换为证明 f(x)-g(x)>0 ， x∈(a ， b). 如果 (f(x)-g(x))′>0 ，说明函数 f(x)-g(x) 在 (a ， b) 上是增函数；如果 f(a)-g(a)≥0 ，由增函数的定义可知，当 x∈(a ， b) 时， f(x)-g(x)>0 ，即 f(x)>g(x). 【 易错误区 】 误用函数单调递增 ( 减 ) 的充要条件致误 【 典例 】 已知函数 f(x)= 在 (-2 ， +∞) 内单调递减，则实数 a 的取值范围为 ________. 【 解析 】 因为 f(x)= ，所以 f′(x)= 由函数 f(x) 在 (-2 ， +∞) 内单调递减知 f′(x)≤0 在 (-2 ， +∞) 内恒成立， 即 ≤ 0 在 (-2 ， +∞) 内恒成立，因此 a≤ 当 a= 时， f(x)= ，此时函数 f(x) 为常数函数， 故 a= 不符合题意舍去 . 所以 a 的取值范围为 a< 故实数 a 的取值范围为 (-∞ ， ). 答案： (-∞ ， ) 【 常见误区 】 错解 错因剖析 a≤ 漏掉阴影处，没有对 a= 进行验证，不能正确理解导数小于 0 是函数递减的充分条件，进而导致范围扩大的错误 【 防范措施 】 函数单调性与导数正负 　　函数 f(x) 在区间 D 上单调递增 ( 或递减 ) 的充要条件是 f′(x)≥0( 或 f′(x)≤0) 且 f′(x) 在区间 D 任一子区间上不恒为零 . 本例中利用 f′(x)≤0 构造关于参数 a 的不等式，求得 a 的范围，再验证等号成立时， f(x) 是否符合要求 . 【 类题试解 】 已知函数 f(x)=-x 3 +ax 2 -x-1 在 (-∞ ， +∞) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞ ， - ］∪［ ， +∞) B. ［ - ， ］ C.(-∞ ， - )∪( ， +∞) D.(- ， ) 【 解析 】 选 B.f′(x)=-3x 2 +2ax-1≤0 在 (-∞ ， +∞) 上恒成立且不恒为 0 ， Δ=4a 2 -12≤0 ⇒ - ≤a≤ .