2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十三正弦定理和余弦定理苏教版 11页

核心素养测评二十三 正弦定理和余弦定理 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为 (　　)‎ A.60°或120°　　　　　　　B.60°‎ C.30°或150° D.30°‎ ‎【解析】选A.在△ABC中,‎ 由正弦定理得=,‎ 所以sin A===.‎ 又a>b,所以A>B,所以A=60°或A=120°.‎ ‎2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b等 于(　　)‎ A.　　　　 B. C.2　　　　 D.3‎ ‎【解析】选D.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-,‎ 解得b=3或b=-(舍去).‎ ‎3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定 是 (　　)‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 - 11 -‎ ‎【解析】选C.在△ABC中,因为cos C=,所以a=2bcos C=2b·,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,‎ 所以此三角形一定是等腰三角形.‎ ‎4.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,则△ABC解的情况是 (　　)‎ A.无解 B.有唯一解 C.有两解 D.不能确定 ‎【解析】选B.因为在△ABC中,‎ ‎∠A=60°,a=,b=,‎ 所以根据正弦定理 得sin B===,‎ 因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°,‎ 所以由sin B=,得∠B=30°,从而得到∠C=90°,‎ 因此,满足条件的△ABC有且只有一个.‎ ‎【变式备选】‎ 已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,B=30°,若三角形有两个解,则x的取值范围是 (　　)‎ A.(2,+∞)　 B.(2,2)‎ C.(2,4)　 D.(2,2)‎ ‎【解析】选C.因为三角形有两个解,‎ 所以xsin BB,则>‎ D.Acos 2B ‎【解析】选ABD.对A选项. 若AB,设A=,B=,所以<0,>0,所以该选项错误.‎ 对D选项. A-sin 2B,所以1-sin ‎2A>1-sin 2B,所以cos ‎2A>cos 2B,故该选项正确.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C=c,则C=________;若c=,△ABC的面积为,则△ABC的周长为________. ‎ ‎【解析】在△ABC中,因为2cos C(acos B+bcos A)=c,由正弦定理可得 ‎2cos C=sin C,‎ 又由sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B,‎ 整理得2cos Csin C=sin C,因为C∈(0,π),‎ 则sin C>0,所以cos C=,所以C=,‎ 又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,即a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=7,‎ 又因为S△ABC=absin =,解得ab=6,所以(a+b)2-18=7,即a+b=5,‎ 所以△ABC的周长为5+.‎ - 11 -‎ 答案:　5+‎ ‎7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,则△ABC的面积为________.  ‎ ‎【解析】由题意可得:abcos A=asin B,‎ 所以asin Bcos A=sin Asin B,‎ 所以tan A=a=,‎ 所以A=.‎ 利用余弦定理有 cos A===,‎ 结合a=2,b+c=6可得:bc=8,‎ 则S△ABC=bcsin A=×8×=2.‎ 答案:2‎ ‎【变式备选】‎ 在△ABC中,三个内角∠A,∠B, ∠C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sin C)·cos A=-2sin Acos C,且a=2,则△ABC面积的最大值是________. ‎ ‎【解析】因为(b+2sin C)cos A ‎=-2sin Acos C,‎ 所以bcos A=-2(sin Ccos A+sin Acos C)=-2 sin(A+C)=-2sin B,‎ 则=,结合正弦定理得==,即tan A=-,∠A=π,‎ - 11 -‎ 由余弦定理得cos A==-,化简得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,‎ S△ABC=bcsin A≤×4×= .‎ 答案:‎ ‎8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A=csin C,a=2,b=2,则sin B=________.  ‎ ‎【解析】因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,‎ 所以a2+b2+ab=c2.‎ 由余弦定理得cos C==-,‎ 又0