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- 2021-06-24 发布
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必修二 4.1.2 圆的一般方程
一、选择题
1、若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
2、已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(01
C．m< D．m<1
6、圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．和 B．(3,2)和
C．和 D．和
二、填空题
7、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
8、已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．
9、如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
三、解答题
10、求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
11、求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
12、如果方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求该圆半径r的取值范围．
13、平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？
以下是答案
一、选择题
1、D [圆心应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0．]
2、B [先化成标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，将O(0,0)代入可得a2＋1>2a(00．]
6、C [由一般方程圆心，半径r＝两公式易得答案．]
二、填空题
7、20
解析 点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，
∴|AC|＝10，最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝4，S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝20．
8、－2
解析 由题意知圆心应在直线l：x－y＋2＝0上，即－1＋＋2＝0，解得
a＝－2．
9、(0，－1)
解析 r＝＝．
当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
三、解答题
10、解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝于是有x0＝2x－3，y0＝2y．
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝．
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝．
11、解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2． ①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ②
1＋9－D＋3E＋F＝0， ③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
12、解 (1)方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆必须有：
D2＋E2－4F＝4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
即：7t2－6t－1<0，
∴－
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