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- 2021-06-24 发布
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鄂南高中华师一附中 黄石二中 荆州中学
孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 黄冈中学
2020 届高三八校第一次联考
数学(理科)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷
上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.复数 z 满足 1 1i z i ,则 z ( )
A. 1 i B. 1 i C. 2 2
2 2 i D.
2 2
2 2 i
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.
【详解】解:
1 2 1 2 12 2 2
1 1 1 1 2 2 2
i i iz ii i i i
,
故选:C
【点睛】本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.
2.已知集合 1
2
xX x e
, 2 }6{ | 0Y x x x ,则 RC X Y ( )
A. 3, 2ln B. 2, 2ln C. 3, 2ln D.
2,2ln
【答案】C
【解析】
【分析】
先解指数型不等式,得到集合 2 ,X x x ln 进而求其补集,然后与集合Y 取交集即可.
【详解】解:集合 2 ,X x x ln , 2 , { | 3 2}RC X x x ln Y x x
所以 3 2RC X Y x x ln
故选:C
【点睛】本题考查交集与补集运算,考查不等式的解法,考查计算能力,属于常考题型.
3.已知等差数列 na 的前项 n 和为 nS ,且 3
1 4, ,3
Sa a 成公比为 q的等比数列,则 q等于( )
A. 1或 2 B. 2 C. 1 D. 2 或 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得
2
3
1 4 ,3
S a a
求得 0d 或 1d a ,进而根据等比定义求 q即可.
【详解】解: 3
1 4, ,3
Sa a , 成公比为 q的等比数列,
2
3
1 43
S a a
,又 na 为等差数列,
2
2 1 4a a a ,
1 1 1
2 . 3a d a a d 即 1 0d d a ,
即 0d 或 1d a .
3
2 1
1 1 1
3
S
a aq a a a
或 1
1
2 1a
a
或 2
故选:A
【点睛】本题考查等差数列等比数列基本量的运算,考查计算能力,属于基础题.
4.若 π 4sin 6 5x
,则 πsin 26 x
的值为
A. 24
25
B. 24
25
C. 7
25
D. 7
25
【答案】D
【解析】
∵sin( π
6
–x)=–sin(x– π
6
)= 4
5
,∴sin(x– π
6
)=– 4
5
,∴sin(2x+ π
6
)=sin(2x– π
3
+ π
2
)
=
cos(2x– π
3
)=cos[2(x– π
6
)]=1–2sin2(x– π
6
)=1–2×(– 4
5
)2=– 7
25
.故选 D.
5.已知 0, 0x y ,且 1 9 1x y
,则 x y 的最小值为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
利用“乘 1 法”与均值不等式即可得出.
【详解】解法一:由题得 1 9 9 91 9 1 2 9 16y x y xx y x yx y x y x y
,
取等条件为
0
0
1 9 1
9
x
y
x y
y x
x y
,即 4
12
x
y
,
故选: B
解法二:由 1 9 1x y
得9 0x y xy 即 1 9 9x y ,
又 1, 9x y .
1 19 0x y x y 2 1 9 10 16x y ,
取等条件为
0
0
1 9 1
1 9 3
x
y
x y
x y
,即 4
12
x
y
,
故选: B
【点睛】本题考查均值不等式的应用,考查“乘 1 法”,属于常考题型.
6.若函数 3x sinxf cosx 在区间 ,a b 上是减函数,且 2, 2a ff b ,则函数
3g x cosx sinx 在区间 ,a b 上( )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 可以取得最大值 2 D. 可以取得最小值 - 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得 32f x sin x
, 2 2 3g x sin x
,利用平移知识与图象即可得
到结果.
【详解】 32f x sin x
, 2 23 2 3g x cos x sin x
,
g x 的图像由 f x 的图像向左平移
2
所得.
f x 在区间[ ],a b 上是减函数,且 2, 2f a f b .
如图,将 f x 向左平移
2
,即 1
4
个周期, g x 可以取得最小值 2 .
故选:D
【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质,考查函数的单调性、最值及图象变换知识,考
查数形结合思想,属于中档题.
7.已知 2 0.3a log , 0.2 3b log , 0.30.2c ,则 a ,b , c 的大小关系为( )
A. c b a B. b a c C. c a b D.
a c b
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的图象与性质即可得大小关系.
【详解】解: 2 20.3 0.5 1a log log , 0.2 0.23 5 1b log log 且 0 0b c , ,
所以 , , a b c 的大小关系为 c b a .
故选:A
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础
题.
8.已知曲线C : 3 3f x x x ,直线l : 3y ax a ,则 6a 是直线l 与曲线C 相切的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线l 与曲线C 相切,明确 a 的取值,再结合充分必要性作出判断.
【详解】解: 2 ' 3 3f x x ,直线 : 3l y ax a 过定点 3,0 ,且曲线C 也过点 3,0 .
若 直 线 l 与 曲 线 C 相 切 , 设 切 点 横 坐 标 为 ox , 则 切 线 为 2 3
0 03 3 2y x x x , 则
2
0
3
0
3 3
2 3
x a
x a
,解之 0 3
6
x
a
或
0
3
2
3
4
x
a
,所以 6a 是直线l 与曲线C 相切的充分不必
要条件.
故选:A
【点睛】本题考查充要条件的判断,涉及直线与三次函数相切问题,考查计算能力与转化能
力,属于中档题.
9.鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器,也是广泛流传于中国民间的智力玩
具,它起源于古代中国建筑首创的機卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结
构)啮合,外观看上去是严丝合缝的十字几何体,其上下、左右、前后完全对称,十分巧妙.
鲁班锁的种类各式各样,其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名九根的鲁班锁由如图
所示的九根木榫拼成,每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖些凹槽而成,若九根正四棱
柱底面边长均为1,其中六根短条的高均为3 ,三根长条的高均为 5 ,现将拼好的鲁班锁放进
一个圆柱形容器内,使鲁班锁最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底
面内,则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为( )
A. 135
4
B. 65
2
C. 135 D. 125
4
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆柱的底面半径为 r ,用平行于圆柱的底面的平面截圆柱和中间横向最长木条,在截面图中
利用勾股定理即可得到结果.
【详解】解:设圆柱的底面半径为 r ,用平行于圆柱的底面的平面截圆柱和中间横向最长木条,
得到截面图如图所示,则
2 2
2 1 5 13
2 2 2r
,
圆柱体积为 2 65
2V r h
故选:B
【点睛】本题考查球、正四棱柱等基础知识,考查推理论证能力、空间想象能力,考查函数
与方程思想、化归与转化思想,是中档题.
10.已知 f x 是定义在 R 上的函数, 'f x 是函数 f x 的导函数,且 , ' 1x R f x ,
且 1 0f ,则( )
A. 1f e e B. 0 1f C. 0 1f D.
0f e f e
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意构造函数 g x f x x ,明确函数的单调性,即可比较大小.
【详解】解:令 g x f x x ,则 ' ' 1 0g x f x ,
所以 g x 在 R 上单调递增.
由 1g e g 可得 1 1 1f e e f ,得 1f e e ,故选项 A 不正确.
由 0 1g g 可得 0 1 1 1f f ,故选项 B 不正确,选项C 正确,
同理可判断选项 D 不正确.
故选:C
【点睛】本题考查函数值大小的比较,考查利用导数判断函数的单调性,考查函数与方程思
想,属于中档题.
11.如图, ,M N 分别为边长为1的正方形 ABCD 的边 BC CD、 的中点,将正方形沿对角线
AC 折起,使点 D 不在平面 ABC 内,则在翻折过程中,以下结论错误的是( )
A. / /MN 平面 ABD
B. 异面直线 AC 与 BD 所成的角为定值
C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D. 三棱锥 M ACN 体积的最大值为 2
48
【答案】C
【解析】
【分析】
利用线面平行判定定理判断 A 选项,利用线面垂直的性质判断 B 选项,利用垂直的转化说明 C
选项,利用等积法说明 D 选项.
【详解】选项 A ,因为 / / MN BD ,所以 / /MN 平面 ABD ,故选项 A 正确;
选项 B ,取 AC 中点O ,连接 ,OB OD ,则 AC OB ,且 AC OD ,所以 AC 平面OBD ,
所以 AC BD ,异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90 ,为定值,故选项 B 正确;
选项 ,C 若直线 AD 与直线 BC 垂直,因为直线 AB 与直线 BC 也垂直,
则直线 BC ⊥平面 ABD ,所以直线 BC ⊥直线 BD ,
又因为 BD AC ,所以 BD 平面 ABC ,所以 BD OB ,
而 OBD 是以 OB 和OD 为腰长的等腰三角形,这显然不可能,故选项 C 不正确;
选项 D , M ACN N ACMV V ,当平面 DAC 平面 ABC 时取最大值,
max
1 1 2 2
3 4 4 48N ACMV ,故选项 D 正确.
故选:C
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查了线面平行与线线垂直的判定和性质定理,
考查几何体体积的计算,考查空间想象能力和推理能力,是中档题.
12.已知函数 x sinx nf si x ,给出下列结论: ① f x 是周期函数;② f x 是奇函
数:③ ,2 2
是函数 f x 的一个单调递增区间;④若 1 2f x f x ,则
1 2x x k k Z ;⑤不等式 2 2 cos2 cos2sin x sin x x x 的解集为
1 5 ,8 8x k x k k Z
,则正确结论的序号是( )
A. ①②④ B. ①②③④ C. ②③ D.
①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.
【详解】因为 ( 2 )f x f x ,所以 2 是 f x 的一个周期,选项①正确;
因为 f x f x ,所以 f x 是奇函数,选项②正确;
当 0, 2x
时, 2 1 cos2
2
xf x sin x 单调递增,又因为 f x 是奇函数且过原点,所
以 ,2 2
是函数 f x 的一个单调递增区间,选项③正确;
由②③可画出函数 f x 在 ,2 2
上的图像,又因为 2 2f x f x
,所以 f x
的图像关于
2x 对称,可画出函数 f x 在 3,2 2
上的图像,即得到函数 f x 在
3,2 2
上的图像,即一个周期的图像,在 3,2 2
上的对称中心为 0,0 和 ( ,0) ,所
以在整个定义域上对称中心为 ( ,0)( )k k Z ,即若 1 2f x f x ,则
1 2 ( )2x x k k Z ,
选项④不正确;
先求不等式 | |2 2 2 2sin x sin x cos x cos x 在一个周期内的解集,取区间 0,2 ,因为
2 2 2 2sin x sin x cos x cos x 2 2 2f x f x
,则
2 4
72 2 4
x
x
,在
整个定义域上则
2 24
72 22 4
x k
x k
,
解得 1 5 ,8 8k x k k Z ,故选项⑤正确,
综上, ①②③⑤ 正确..
故选:D
【点睛】本题考查如何运用研究正弦函数、余弦函数的方法,去研究新的、没见过的周期函
数,考查学生分析解决问题的能力.为了降低难度, ①②③ 引导学生先画出一个周期的函数
图像,进而得到整个函数图像,为④⑤服务.选项的设置实际上告诉了学生②的正确性,同时
引导学生重点需要判断④⑤,④⑤只需要准确判断其中一个,就能选出正确答案,降低了难
度.
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.非零向量 a
和b
满足 2 a b
, a a b
,则 a
与b
的夹角为___________.
【答案】 2
3
【解析】
【分析】
先由向量的数量积运算可得 2
a b a ,再利用向量的夹角公式 cos a b
a b
,再将已知条
件代入运算即可得解.
【详解】解:由非零向量 a
和b
满足 a a b
,
则 2
0a a b a a b ,即 2
a b a ,
设 a
与b
的夹角为 ,则
2
cos
aa b
a b a b
,
又 2 a b
,则
2
cos
a
a b
2
2
1
22
a
a
,
又 0, ,
所以 2
3
,
故答案为 2
3
.
【点睛】本题考查了向量的数量积公式及向量的夹角公式,重点考查了运算能力,属中档题.
14.已知实数 ,x y 满足
2 3 0
2 5 0
1
x y
x y
y
,则 z x y 的取值范围为__________.
【答案】 70, 2
【解析】
【分析】
画出可行域, 2
2
x yz ,只需求可行域内的点 ,x y 到直线 0x y 的距离的最值即可.
【详解】解:画出可行域,
2
2
x yz ,只需求可行域内的点 ,x y 到直线 0x y 的距离的最值,
观察可得最小值为 0 ,最大值为 2 3 0x y 与 2 5 0x y 的交点 1( ,4)2
到直线的距离,
再乘以 2 ,结果为 7
2
,故取值范围为 70, 2
故答案为: 70, 2
【点睛】目标函数加了一个绝对值,不同的学生就会有不同的做法,好学生转化成点到直线
的距离,直接可以观察最小值是 0 ,只用求最大值,算一个交点就可以了;一般的学生可以先
求 z x y 的范围,再求绝对值的范围,那就要多算一个交点的坐标;当然,也可以分两类
确定 z x y 的符号后再求具体范围, 工作量就要大一些了.
15.已知函数
1 , 0
, 0
x
x
mx xxef x
e mx xx
,若函数 f x 有且只有 4 个不同的零点,则实数 m 的
取值范围是__________.
【答案】
2
4
em
【解析】
【分析】
f x 有且只有 4 个不同的零点等价于偶函数
1 , 0
, 0
x
x
xg x e
e x
与偶函数 2y mx 的图象有
且只有 4 个不同的交点,即 2xe mx 有两个不等正根,即 2
xe mx
有两个不等正根.
【详解】 f x 有且只有 4 个不同的零点等价于偶函数
1 , 0
, 0
x
x
xg x e
e x
与偶函数 2y mx
的图象有且只有 4 个不同的交点,即 2xe mx 有两个不等正根,即 2
xe mx
有两个不等正根.
令 2
xeh x x
,则
3
2xe xh x x
,它在 0,2 内为负,在 (2, ) 内为正,
h x 在 0,2 上单调递减,在 (2, ) 上单调递增,且
2
2 4
eh
又 当 0x 时, h x ,当 x 时, h x
2
4
em
故答案为:
2
4
em
【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了导数知识,考查函数与方程思想、等价转化思
想,属于中档题.
16.已知数列 na 的各项均为正数,且 *n N , 3 3 3 3 2
1 2 3 ... 2n n na a a S S a ,其中
nS 为数列 na 的前 n 项和,设 3
2
n
n
n
Sb n
,则 2nb 的最大值为__________.
【答案】 63
32
【解析】
【分析】
由 3 3 3 3 2
1 2 3 ... 2n n na a a S S a ,采用两式相减的方式得到数列 na 的通项,求出其
前 n 项和,明确 2nb ,利用作商的方式,研究数列的单调性,从而得到最值.
【 详 解 】 由 3 3 3 3 2
1 2 3 2n n na a a a S S L 得
3 3 3 3 2
1 2 3 1 1 12 2n n na a a a S S n L
两式相减得 3 2 2
1 1 12 2 2 2n n n n n n n n na S S S a S S a nS ,
1
2 2 2nn nS Sa n
2
1 1 2 2 3n n na S S n ,
两式相减有 1
2 2
1 3n n n na a a na
数列 na 各项均为正数,
1 3(1 )n na a n ,而 2 1 3 2 1a a ,
数列 na 是公差为1的等差数列,
2 1 1 1na n n ,
3
2n
n nS
2 2
2
2
3 2 3 3
2 2 2 2
n n
n
n
S nb n
,
令
2
2 2
2
2 5 3 12 3 2
n
n
b n
b n
,解得 3
2n
2 4 4 6 8,b b b b b ,
2nb 的最大值 4
63
32b
故答案为: 63
32
【点睛】本题常规题,考查知识点有:递推数列、等差数列通项、求和公式、数列单调性和最
值,虽然都是常规知识点,但融合到一起要想顺利解决,需要对这些知识点深刻理解、熟练
掌握.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在 ABC 中,角 、 、A B C 所对边的长分别为 a b c、 、 ,且 cos cos sinA B C
a b c
(1)求 sinC
sinA sinB
的值;
(2)若 ABC 的面积 1
4S = , ABC 的外接圆的直径为1,求 ABC 的周长 L .
【答案】(1) sin 1sin sin
C
A B
(2) 2 1
【解析】
【分析】
(1)由条件结合正弦定理可得 cos cos sin
sin sin sin
A B C
A B C
,通分化简可得结果;
(2)由 ABC 的外接圆的直径为1可知 , ,a sinA b sinB c sinC ,结合(1)的结果可得
c ab ,再利用面积公式可得 c ,利用余弦定理可得 2 2a b ,进而得到 ABC 的周长 L .
【详解】解:(1) cos cos sinA B C
a b c
,由正弦定理可得 cos cos sin
sin sin sin
A B C
A B C
即 cos sin cos sin 1sin sin
A B B A
A B
,
即 sin 1sin sin
C
A B
;
(2) ABC 外接圆直径为1, , ,a sinA b sinB c sinC ,
又由(1)得 sinC sinA sinB c ab ,
ABC 的面积 21 1 1 1
2 2 2 4S absinC csinC c , 2sin 2c C
由余弦定理得 2 2 2 2 2 22 2 2 2a b abcosC c ccosC c sinCcosC c sin C c
2 31 2c 或 1
2
( 1
2
舍)
2 22 21 2 1 2 1a b c ab c c c
ABC 的周长. 2 1 2 1L a b c c
【点睛】本题主要考查了正余弦定理,三角形面积公式的应用,考查了两角和的正弦公式的
应用,熟练应用相关公式及定理是解题的关键,属于基本知识的考查.
18.已知数列 na 和
2
na
n
均为等差数列 1
1
2a ,
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)设数列{ }nb 满足
41 1
1
n
n nab n n
,求数列{ }nb 的前 n 项和 nS .
【答案】(1)
2n
na (2) 11 1 1
n
nS n
【解析】
【分析】
(1)由数列 na 和
2
na
n
均为等差数列,可得 1a d ,从而可得数列 na 的通项公式;
(2) 由(1)及题设得 2 1 1 1
11 11
n n
n
n
n nb n n
g g ,利用裂项相消法求和即可.
【详解】解: 1 数列
2
na
n
为等差数列,
22 2
32 12 2 1 3
aa a
又 数列 na 为等差数列,
12
1
2
1
2 2
3
a da d a
即 2
1 0a d 即 1a d
又 1
1
2a ,
1 112 2 2n
na n
2 由(1)及题设得 2 1 1 1
11 11
n n
n
n
n nb n n
g g
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 2 2 3 3 4 1 1
n n
nS n n n
【点睛】本题重点考查裂项相消求和,但又不是学生通常几乎都会背的那种裂项相消,考查
学生对裂项相消求和方法的理解.
19.如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,M N、 分别是棱 AB PD、 的
中点, ,PA PB AD PB ,直线 MN 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 2
3
(1)证明: / /MN 平面 PBC ;
(2)求二面角C MN D 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 5
5
【解析】
【分析】
(1) 在平面 ABCD 内延长 DM 交 CB 的延长线于 F ,证明 / / MN PF ,即可得到 / /MN 平
面 PBC ;
(2) 先找出 EMN 为直线 MN 与平面 PAB 所成的角,进而得到 PM 平面 ABCD ,通过
三垂线法求得 CIH 是二面角 D MN C 的一个平面角,解之即可.
解法二(向量法)
建立空间直角坐标系,(1) 在平面 PBC 内作 1 1
2 2BK BP BC ,则 BK MN
即可得到 / /MN 平面 PBC ;
(2)求出两个半平面的法向量,利用向量夹角公式,即可得到结果.
【详解】解法一(非向量法): (1)方法一:在平面 ABCD 内延长 DM交CB 的延长线于 F
M 是正方形 ABCD 中 AB 边的中点, M 是 DF 的中点
又 NQ 是 PD 的中点, / / MN PF
又 MN 平面 , PBC PF 平面 PBC , / /MN 平面 PBC .
方法二:取 PC 的中点G
,N G 分别是 PD PC、 的中点, 1 ,2NG CD NG CD P
又 M 是正方形 ABCD 中边 AB 的中点, 1 ,2BM CD BM CD P ,
1 ,2GN BM GN BM P
BMNG 是平行四边形, / / MN BG
又 MN 平面 PBC , BG 平面 PBC ,
/ /MN 平面 PBC .
方法三:取 PA 中点 ,E E N, 分别是 PA PD、 的中点,
/ / EN AD
同理 / / EM PB
底面是正方形, / /AD BC ,又 / / EN AD , / / EN BC
又 EN 平面 PBC , BC 平面 PBC , / /EN 平面 PBC .
同理 / /EM 平面 PBC ,又 ,EN EM E EN 平面 ,EMN EM 平面 EMN
平面 / /EMN 平面 PBC .
又 MN 平面 EMN .
/ /MN 平面 PBC
(2) , ,AD PB AD AB PB AB B ,PB 平面 PAB ,AB Ì平面 PAB , AD 平
面 PAB
又 / /EN AD , EN 平面 PAB ,
EMN 为直线 MN 与平面 PAB 所成的角.
2
3
ENsin EMN MN
,
又 E M N 、 、 分别为 PA AB PD、 、 的中点,底面边长为 2 , PA PB
3 5, ,2 2MN ME PM AB .
且 2
2
2 2 1
22 2PM PB BM ME AB
AD 平面 PAB , AD 平面 ABCD ,
平面 PAB 平面 ABCD ,且交线为 AB
又 PM AB ,且 PM 平面 PAB , PM 平面 ABCD
在平面 ABCD 内作CH MD 于点 H ,则 CH PM
又 MD PM M , MD 平面 MND , PM 平面 MND , CH 平面 MND
再作 HI MN 于点 I ,则 CIH 是二面角 D MN C 的一个平面角
在正方形 ABCD 中可求得 4 3,
5 5
CH MH ,
3 2 2
35 5
HI MHsin DMN MHsin MDN
二面角的余弦值 2 2
2
55
52 4
5 5
IH
IC
.
解法二(向量法): AD PB , AD AB , PB AB B , PB 平面 PAB , AB Ì平面
PAB .
AD 平面 PAB ,又 PM 平面 PAB , AD PM ①
,PA PB M 是 AB 的中点,
PM AB ,设 J 为 CD 的中点,则同①得 PM MJ
则 MJ MA MP、 、 两两垂直,
可分别以 MJ MA MP、 、 为轴 , ,x y z 建立空间直角坐标系
设 0,0,P p
1 1 12,1,0 0,0, 1, ,2 2 2
pMN p
0,0, 0, 1,0 0,1,BP p p
2, 1,0 0, 1,0 2,0,0BC
1 1
2 2MN BP BC
在平面 PBC 内作 1 1
2 2BK BP BC ,则 BK MN
/ / , BK MN MN 平面 PBC , BK 平面 PBC , / /MN 平面 PBC
2 11, ,2 2
pMN
, 2,0,0MJ 是平面 PAB 的一个法向量
2 2 2
2
11 2 0 0 22 2, )
511 22
(
2
p
MN MJcos MN MJ
MN MJ pp
又 直线 MN 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 2
3
, 2
2 2
35p
2p 即 (负舍)
11, ,12MN
, 2,1,0MD , 2, 1,0MC
设 , , a x y z 平面 DMN ,则
1 02
2 0
a MN x y z
a MD x y
即 2
0
y x
z
,令 1x 得
1, 2,0a
设 , , b r s t 平面CMN ,则
1 02
2 0
b MN r s t
b MC r s
即 2
2
s r
t r
,令 1r 得
1,2, 2b
2 22 2 2 2
1 1 2 2 0 2 5, ) 51 2 0 1 2 2
( a bcos a b
a b
又 a
指向二面角,b
指向二面角,二面角的余弦值为 5
5
【点睛】本题考查线面平行的证明,二面角的度量,考查逻辑推理能力、空间想象能力、运
算能力,属于中档题.
20.“双十一”期,某电商店铺 A 的活动为:全场商品每满 60 元返 5 元的优惠券(例如:买130
元的商品,可用两张优惠券,只需付 130130 5 130 5 2 12060
(元).其中 x 表示不
大于 x 的最大整数).此外,在店铺优惠后,电商平台全场还提供每满 400 元减 40 元的优惠(例
如:店铺 A 原价880 元的一单,最终价格是 880 5 14 40 2 730 (元),店铺优惠后不
满 400 元则不能享受全场每满 400 元减 40 元的优惠活动
(1)小明打算在店铺 A 买一款 250 元的耳机和一款 650 元的音箱,是下两单(即耳机、音箱分
两次购买) 划算?还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算?
(2)小明打算趁“双十一”囤积某生活日用品若干,预算不超过 700 元,该生活日用品在店铺
A 的售价为30 元/件试计算购买多少件该生活日用品平均价格最低?最低平均价格是多少?
【答案】(1) 下一单划算(2) 购买15 件或16 件该生活日用品的平均价格最低,最低平均价格
为 25 元/件.
【解析】
【分析】
(1)分别计算下两单与下一单,实际付款额,即可作出判断;
(2) 假设购买 *( )x x N 件,平均价格为 y 元/件,分成两段:1 14x ,15 26x ,构
建平均价格的函数,求最值即可.
【详解】解: (1)若下两单,耳机优惠后实际付款为 250 5 4 230 (元)
音响优惠后实际付款为 650 5 10 40 1 560 (元)
耳机和音响优惠后一共实际付款 230 560 790 元
若下一单,耳机和音响优惠后一共实际付款 250 650 5 15 40 2 745 (元)
下一单划算
(2)方法一:假设购买 *( )x x N 件,平均价格为 y 元/件
由于不能超过 700 元预算,最多只能购买 26 件,且当1 14x 时不能享受满 400 元减 40 元
的优惠,当15 26x 时能享受一次每满 400 元减 40 元的优惠
1 当1 14x 时不能享受每满 400 元减 40 元的优惠,
则 1 30 530 5 3060 2
x xy xx x
530 , 22 ,530 , 2 12 1
n x nn n N
n x nn
当 2x n 时, 127 2y .
当 2 1x n 时,
5 5 130 272 2 2 1 2y k
当1 14x 时购买偶数件该生活日用品的平均价格最低,最低平均价格为 27.5 元/件.
2°当15 26x 时能享受一次每满 400 元减 40 元的优惠,
则
1 30 5 4030 5 40 3060 2
x xy xx x x
5 4030 , 22 2 ,5 4030 , 2 12 1 2 1
n x nn n k N
n x nn n
当 2x n 时, 1 2027 2y n
.当 8, 16n x 时, 25miny
当 2 1x n 时,
5 40 5 7530 302 1 2 2 2 1
ny n n
,当 7, 15n x 时, 25miny
综上,购买15 件或16 件该生活日用品的平均价格最低,最低平均价格为 25 元/件.
方法二:设购买 *( )x x N 件应付款为 y 元,平均价格为 z 元/件
则
3030 5 ,0 40060
3030 5 40,360 70060
xx y
y
xx y
55 2 ,0 400
55 30, 2 1,0 400= 55 40, 2 ,360 700
55 10, 2 1360 700
n x n y
n x n y
n x n y
n x n y
,
,
,
55 2 , 1,2, ,7
55 30, 2 1, 1,2, ,6
55 40, 2 , 8,9, ,13
55 10, 2 1 7,8, ,12
n x n n
n x n nn N n x n n
n x n n
,
,
27.5, 2 , 1,2, ,7
527.5 , 2 1, 1,2, ,62 2 1
= 2027.5 , 2 , 8,9, ,13
7527.5 , 2 1 7,8, ,122 2 1
x n n
x n nn
yz x x n nn
x n nn
,
第一段: 27.5 ;第二段:大于 27.5
第三段:当 8n 时,取最小值 25 ;第四段:当 7n 时,取最小值 25
综上,购买15 件或16 件该生活日用品的平均价格最低,最低平均价格为 25 元/件.
【点睛】本题考查分段函数的应用,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.
21.已知函数 2 0( )f x ln ax ax x a .
(1)讨论函数 f x 的极值点个数;
(2)若函数 f x 有且只有一个极值点 ox ,且 0 0f x ,求实数 a 的取值集合.
【答案】(1)见解析;(2) 1
【解析】
【分析】
(1) 求出函数的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间,判断函数的极值点的个数即
可;
(2) 若函数 f x 有且只有一个极值点 ox 则由(1)知 0a ,且 0 (0, )x 且
2
0 02 1 0ax x 即 0
2
0
1
2
xa x
, 0 0
0 2
0
1 1ln 2 2
x xf x x
,构建新函数研究最值即可.
【详解】解: (1)由题得
21 2 12 1 0ax xf x a ax axax x
1 若 0a ,则函数定义域为 ( ,0)
① 8 1 0a 即 1
8a 时
则在 ( ,0) 内 ' 0f x 且不连续取 0 , f x 在 ( ,0) 单调递减
此时 f x 在定义域 ( ,0) 内没有极值点..
② 8 1 0a 即 1 08 a
则 22 1 0ax x - 在 ( ,0) 内有两个根 1 2 1 2, 0x x x x
当 1( , )x x 时, ' 0,f x f x 单调递减,
当 1 2,x x x 时, ' 0f x , f x 单调递增
当 2 ,0x x 时, ' 0f x , f x 单调递减
当 1 08 a 时 f x 在 ( ,0) 内有且只有 2 个极值点.
2若 0a ,则函数定义域为 ( ,0)
二次函数 22 1g x ax x 的开口向下,对称轴 1 04x a
, 0 1 0g ,判别式
8 1 0a
0g x 在 ( ,0) 只有一个根 0 x
当 0(0, )x x 时, ' 0,f x f x 单调递增,
当 0 ,x x 时, ' 0f x , f x 单调递减
综上,当 1
8a 时 f x 在 ( ,0) 内没有极值点,当 1 08 a 时 f x 在 ( ,0) 内有且
只有 2 个极值点. 当 0a 时 f x 在 (0, ) 内有且只有1个极值点.
(2)方法一:若函数 f x 有且只有一个极值点 ox
则由(1)知 0a ,且 0 (0, )x 且 2
0 02 1 0ax x 即 0
2
0
1
2
xa x
由 0 0f x 得
2 0 0
0 0 0 0 02
0
1 1ln 2 2
x xf x ln ax ax x xx
0 0
2
0
1 1ln 02 2
x x
x
①
令 2
1 1ln 02 2
x xh x xx
,则
1 2' 2 1
x xh x x x
当 0,1x 时, ' 0,h x h x 单调递减,当 (1, )x 时, ' 0,h x h x 单调递
增
0 1 0h x h .
又由知 00, 1h x x , 0
2
0
1 12
xa x
实数 a 的取值集合为 1 .
方法二: 若函数 f x 有且只有一个极值点 ox
则由(1)知 0a ,且 0 (0, )x 且 2
0 02 1 0ax x
即 0
8 1 1 04
ax aa
由 0 0f x 得 2
0 0 0 0f x ln ax ax x 0 0
0 0 0
1 1ln ln2 2
x xax x ax
8 1 1 4 8 1 1 04 8
a a a
a a
①
令 8 1t a ,
2
2
1 11 1 32ln ln 14 1 4 2 1(t)
t tt t ti tt t
则
2 2
1 1 3 1 34 11 1 4 2 1 1 1
t t t ti t t t t
在 (1 )3, 内为负,在 (3 ) , 内为正
( )i t 在 (1 )3, 内单调递减,在 (3 ) , 内单调递增, min[ ( 3] 0t)i i
0 8 1 0f x i a 又 由①得 0 8 1 0f x i a
8 1 3a ,即 1a ,实数 a 的取值集合为 1 .
【点睛】本题主要考查分类讨论、导数的应用,中偏难,与 21 题一起双压轴.第一问的亮点
是 0a 和 0a 时定义城不一样,确定定义城是研究函数的第一步,这对不喜欢考虑定义城
的学生是一个教训.第一问题讨论的侧重点放在了对二次函数正负的讨论,需要从开口、对称
轴、判别式、端点函数值符号四个方面控制,是二次函数研究的重点,同时也是学生比较熟
悉的函数类型,所有学生都能上手,但不一定都能做对.第二问也不难,解二元的不等式,先
消元,利用单调性解不等式,再代回两个元之间的关系式求出 a 的取值集合.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为,
41 5
31 5
x t
y t
(t 为参数),以直角坐标系的
原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为
(2 4 )sin .
(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)已知直线 l 与曲线C 交于 ,A B 两点,试求 ,A B 两点间的距离.
【答案】(1) 直线 l 的极坐标方程为 3 4 1 0cos sin ,曲线 C 的普通方程为
2 2 0x y x y (2) 7
5
【解析】
【分析】
(1)化直线 l 的参数方程为普通方程,进而化为极坐标方程,曲线C 的极坐标方程化为直角坐
标方程;
(2) 将直线l 的参数方程
41 5
31 5
x t
y t
代入曲线C 的普通方程,利用韦达定理表示两点间距
离,从而得到结果.
【详解】解: (1)直线
1 1: 4 3
5 5
x yl
,即3 4 1 0x y 即3 4 1 0cos sin
曲线 :C sin cos 即 2 sin cos
(原式中 可以为 ,故两边乘以 不扩大范围)
即 2 2x y y x 即
2
2 1 1( ) 2 2
1
2 yx
直线 l 的极坐标方程为3 4 1 0cos sin ,
曲线C 的普通方程为 2 2 0x y x y
(2)方法一:将直线 l 的参数方程
41 5
31 5
x t
y t
代入曲线C 的普通方程 2 2 0x y x y 得
2 7 05t t
即 0t 或 7
5
A B 、 两点间的距离 1 2
7
5AB t t
方法二:由(1) 知曲线C 是一个圆,
其圆心到直线 l 的距离
2 2
1 13 4 12 2 1
103 4
d
A B 、 两点间的距离
2
2 2 1 1 72 2 2 10 5AB r d
【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次
方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题
型.
23.设函数 2 0f x x a x a a .
(1)当 2a 时,求函数 f x 的最小值;
(2)若关于 x 的不等式 1f x ax
在区间 1 ,32
上有解,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) min 3( ) 1xf f (2) 50,2
【解析】
【分析】
(1) 当 2a 时,写出函数的分段形式,利用一次函数的性质得到最值;
(2) 原不等式可化为 12x a x a ax
.即 12x a xx
,即 1 13x a xx x
.
研究两段函数的最值即可.
【详解】解: (1)当 2a 时,
3 , 1
2 2 2 4 , 2 1
3 , 2
x x
f x x x x x
x x
min 1( ) 3f x f
(2)方法一:当 1 ,32x
且 0a 时,原不等式可化为 12x a x a ax
.
即 12x a xx
即 1 12x x a xx x
即 1 13x a xx x
.
题设等价于 1 ,32x
, 1 13x a xx x
且 0a
令
1 32
1 13
x
x xx x
得 1 12 x
题设等价于 1 ,12x
, 1 13x a xx x
且 0a
即
min max
1 13x a xx x
且 0a
即 a 的取值范围 50,2
.
方法二: 当 1 ,32x
且 0a 时,原不等式可化为 12x a x a ax
.
即 12x a xx
即 1 12x x a xx x
即 1 13x a xx x
.
题设等价于 1 ,32x
, 1 13x a xx x
且 0a
如图,画出函数 13g x x x
和 1h x x x
在区间 1 ,32
的图象.
可知 a 的取值范围 50,2
方法三:
当 1 ,32x
且 0a 时,原不等式可化为 12x a x a ax
即 12x a xx
令
1 32
1 13
x
x xx x
得 1 12 x
题设等价于 1 ,12x
, 1 13x a xx x
且 0a
即 a 的取值范围 50,2
.
【点睛】本题考查绝对值不等式,不等式有解问题,考查函数的单调性与最值,考查分类讨
论的数学思想与数形结合的思想,属于中档题.