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- 2021-06-24 发布
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微专题 46 多变量表达式的范围——消元法
一、基础知识:
1、消元的目的:若表达式所含变量个数较多,则表达式的范围不易确定(会受多个变量的取
值共同影响),所以如果题目条件能够提供减少变量的方式,则通常利用条件减少变量的个数,
从而有利于求表达式的范围(或最值),消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式,
进而可构造函数求得值域
2、常见消元的方法:
(1)利用等量关系消元:若题目中出现了变量间的关系(等式),则可利用等式进行消元,
在消元的过程中要注意以下几点:
① 要确定主元:主元的选取有这样几个要点:一是主元应该有比较明确的范围(即称为函数
的定义域);二是构造出的函数能够解得值域(函数结构不复杂)
② 若 被 消 去 的 元 带 有 范 围 , 则 这 个 范 围 由 主 元 承 担 。 例 如 选 择 为 主 元 , 且 有
,则 除了满足自身的范围外,还要满足 (即解不等式)
(2)换元:常见的换元有两种:
①整体换元:若多元表达式可通过变形,能够将某一个含多变量的式子视为一个整体,则可
通过换元转为一元表达式,常见的如 等,例如在 中,可变形为 ,
设 ,则将问题转化为求 的值域问题
注:在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围,即要确定新元的范围
②三角换元:已知条件为关于 的二次等式时,可联想到三角公式,从而将 的表达式
转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同,所
以在有些题目中可巧妙的解决问题,常见的三角换元有:
平方和:联想到正余弦平方和等于 1,从而有:
推广:
平 方 差 : 联 想 到 正 割 ( ) 与 正 切 ( ) 的 平 方 差 为 1 , 则 有
t
,x f t a x b t a f t b
,y y xx x yu x y
1
1
y
xu y
x
yt x 1
1
tu t
,x y ,x y
2 2 cos1 sin
xx y y
, 0,2
2 2
2 2
cos1 sin
x ax y
y ba b
, 0,2
1
cos
sintan cos
,
推广:
注:若 有限定范围时,要注意对 取值的影响,一般地,若 的取值范围仅仅以象
限为界,则可用对应象限角的取值刻画 的范围
3、消元后一元表达式的范围求法:
(1)函数的值域——通过常见函数,或者利用导数分析函数的单调性,求得函数值域
(2)均值不等式:若表达式可构造出具备使用均值不等式( 等)的条件,则可
利用均值不等式快速得到最值。
(3)三角函数:
① 形如 的形式:则可利用公式转化为 的形式解得值域(或最
值)
② 形如 :则可通过换元 将其转化为传统函数进行求解
③ 形如: ,可联想到此式为点 和定点 连线的斜率,其中
为单位圆上的点,通过数形结合即可解得分式范围
二、典型例题:
例 1:设实数 满足 ,则 的取值范围是__________
思路:考虑 可用 进行表示,进而得到关于 的函数,再利用不等式组中
天然成立的大小关系确定 的范围,再求出函数值域即可
解:
由 及 (*)可得: ,
2 2
1sec cos1 , 0,2sintan cos
x
x y
y
2 2
2 2
sec cos1 , 0,2sintan cos
ax ax y
ba b y b
,x y ,x y
2a b ab
sin cosa b sinA
sinf sint
sin
cos
a
b
cos ,sin ,a b
cos ,sin
, ,a x y 2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
xy
xy 2 2,x y x y a
2 2,x y x y a
2 22 2 2 21 1 12 1 2 3 = 3 6 42 2 2xy x y x y a a a a a
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
2 2 22x y x y 2 22 1 2 2 3a a a
解得:
小炼有话说:(*)为均值不等式的变形:
例 2:已知函数 ,对任意的 ,存在 ,使得
,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:由已知 ,可得: ,考虑进行代入消元,但所给等式中无论
用哪个字母表示另一个字母,形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量
作为桥梁,分别表示 ,进而将 变为关于 的表达式再求最值。
解:令
,设
可得 且 为增函数
在 单调递减,在 单调递增
答案:D
2 22 22 2a
21 11 3 11 33 1 1 2, 22 4 2 4 2xy a
22 2 2 2
2 2 222 2 2 2
x y x y x y x y x y x y
1, ln 2 2
x xf x e g x a R 0,b
f a g b b a
2 1e 2 1
2e 2 ln 2 2 ln 2
f a g b 1ln 2 2
a be
m
,a b b a m
f a g b m 1
2
ln
1ln 22 2
a
m
e m a m
b m b e
1
22 lnm
b a e m
1
22 ln 0m
h m e m m
1
' 2 12 m
h m e m
' 1 02h
'h m
'10, , 02m h m
'1 , , 02m h m
h m 10, 2
1 ,2
min min
1 2 ln 22b a h m h
例 3:设正实数 满足 ,则当 取得最小值时, 的最
大值为
思路:首先要通过 取得最小值,得到 之间的关系,然后将所求表达式进行消元,再
求最值即可。
解: ①
等号成立条件为: ,代入到①可得:
的最大值为 2
例 4:已知 ,且 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
思 路 : 所 求 表 达 式 为 , 考 虑 消 元 , 由 已 知 可 得 , 从 而
,达到消元效果,所求表达式为 ,进
而将问题转化为求函数的最值。先确定 的取值范围,由 可得
,即 ,所以 ,所以当
时,
答案:A
小炼有话说:(1)本题处理的关键在于选择 作为核心变量,这是因为在条件中可得到
,从而 可用 表示,使得消元变得可能
( 2 ) 在 处 理 的 最 值 时 , 也 许 会 想 到 均 值 不 等 式 :
zyx ,, 043 22 zyxyx z
xy 2x y z
z
xy , ,x y z
2 2 2 23 4 0 3 4x xy y z z x xy y
2 23 4 4 43 2 3z x xy y x y x y
xy xy y x y x
2 24 4 2x y x y x yy x
2 2 22 3 2 4 2z y y y y y
22 , 2x y z y 22 22 2 2 2 2 2 2 1 2 2x y z y y y y y y
2x y z
0, 0, 0a b c 2 2 21, 4ab a b c ab bc ac
1 2 2 3 3 4
1 c a b 2 2 24a b c
2 2 22 6a b a b ab c 21 6f c c c
c 2 2 24 2 2c a b ab
2 2c 0 2c 22 2 21 6 1 3 9f c c c c 2 2c
max 2 1 2 2f c f
c
2 2,ab a b a b c
2 21 6f c c c
,但看一下等号成立条件: 并不满足
,故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最
值。
例 5:已知 ,则 的最大值为________
解: 设
,其中
可知当 时,
答案:
例 6:若实数 满足条件 ,则 的取值范围是_________
思 路 一 : 考 虑 所 求 式 子 中 可 变 为 , 所 以 原 式 变 形 为 :
,可视为关于 的二次函数,设 ,其几何含义为
与 连线的斜率,则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率,即
,则
思路二:本题也可以考虑利用三角换元。设 ,从而原式转化为:
, 由 可 知
的范围为
答案:
例 7:已知函数 有两个极值点 ,且 ,则
2 2
2 2 66 32
c cc c 2 26 3c c c
0, 2c
2 2, ,2 1a b R a b 2 3a b
2 22 1a b
2 cos , 0,22
sin
a
b
22 3 2 cos sin 3 2 cos sin 32a b
3cos 3 1 2tan 22
cos 1 max2 3 3 3 3 3a b
3 3
,x y 2 2 1x y 2
1 2y
x x
2
1
x
2 2
2
x y
x
22 2
2
2 2 1x y y y y
x x x x
y
x
yt x
,x y 0,0
1,1t 22 2 1 1 2 2,2f t t t t
1 sin, tancos cosx y
22 2cos 2 tan cos 1 sin 2sin sin 1 2 sin 1,1
2sin 1 2 2,2
2,2
2lnf x x x ax ,m n 1 ,12m
f m f n
的取值范围是________
解:
为方程 的两个根
代入 可得:
设
设
在 单调递减
即
答案:
例 8 : 对 于 , 当 非 零 实 数 满 足 且 使 最 大 时 ,
的最小值是________
思路:首先要寻找当 最大时, 之间的关系,以便于求多元表达式的范围
从方程 入手,向 靠拢进行变形,在利用取得最大值时
的关系对所求 进行消元求最值。
解:由 可得:
2
' 1 2 12 x axf x x ax x
,m n 22 1 0x ax
1 1
2 2mn n m 12 22
am n a m n m m
2 2 2 2ln ln ln mf m f n m m am n n an m n a m nn
2 2 2 2ln 2 lnm mm n m n m n m nn n
1
2n m 2 2
2
1ln 2 4f m f n m m m
2t m 1 ,12m
1 ,14t
1ln2 4g t t t t 2
'
2 2
2 11 11 04 4
tg t t t t
g t 1 ,14
1 ,14t 1 3 31 , ln2 , ln24 4 4g t g g
3 3ln2 , ln24 4f m f n
3 3ln2 , ln24 4
0c ,a b 2 24 2 4 0a ab b c 2a b
3 4 5
a b c
2a b , ,a b c
2 24 2 4 0a ab b c 2a b , ,a b c
3 4 5
a b c
2 24 2 4 0a ab b c
(等号成立条件:
最大值是 ,从而可得:
解得:
答案: 的最小值为
例 9:已知函数 ,其中 且
(1)若 ,求函数 的极值
( 2 ) 已 知 , 设 为 的 导 函 数 , 若 存 在 使 得
成立,求 的取值范围
解:(1)由已知可得:
令 ,即解不等式
解得: 或
的单调区间为:
22 2 2 2 24 2 4 4 4 3 6 2 3 2c a ab b a ab b b ab a b b b a
2 2 32 3 2 2 2 22a b b a b a b b a b
22 22 22 2 2 4
a bb a bb a b
2
2 2 223 3 52 2 2 2 22 2 4 8
a ba b b a b a b a b
25 28 a b c 2 2 3 2b a b b a
82 5
ca b 8
5
c
2
3 2
8 82 25 5
b a
c ca b a b
2
3
2
10
a b
c b
2
2 2 2
3 4 5 3 4 5 1 2 1 1 4 1 1 2 2 23 10 2 2 2
2
a b c b b b b b b bb
3 4 5
a b c 2
xax bf x ex
,a b R 0a
2, 1a b f x
1 xg x a x e f x 'g x g x 1x
' 0g x g x b
a
2 1 12x xxf x e ex x
2
'
2 2 2
1 1 1 1 2 12 2x x x xx xf x e e e ex x x x x
' 0f x 22 1 0 2 1 1 0x x x x
1x 1
2x
f x
的极大值为 的极小值为
(2)由已知可得:
即
设
可得当 时, 恒成立
在 单调递增
,即
例 10:已知函数 ,其中
(1)求 的单调区间
(2)若 ,且存在实数 ,使得对任意实数 ,恒有
x , 1 1,0 10, 2
1 ,2
'f x
f x
f x 11f e f x 1 42f e
1 x xbg x a x e a ex
'
2
1x xbg x axe a ex x
'
2
10 1 0x x x xb bg x g x a x e a e axe a ex x x
2
22 3 0b bax ax x
22 3 2 1a x x b x
2 3 22 3 2 3
2 1 2 1
x xb x x
a x x
3 22 3
2 1
x xh x x
2 3 2 2
'
2 2
6 6 2 1 2 2 3 2 4 6 3
2 1 2 1
x x x x x x x x
h x
x x
1,x ' 0h x
h x 1,
1 1h x h 1,b
a
lnf x x ax b ,a b R
f x
1, 0,2a b k 1,x e ln 1f x kx x x
成立,求 的最大值
解:(1)
当 时, 在 单调递增
当 时, 在 单调递增, 单调递减
(2)
思路:恒成立的不等式为: ,即 ,
设 ,可得: ,从而通过讨论 的符号确定
的单调性,进而求出 的最小值(含 的表达式),进而将 放缩成单变量表达
式,求出 的最大值
解:恒成立的不等式为:
设
即
由(1)可得: 在 单调递减
① 若
则 即 在 上单调递增
② 若 即
则 即 在 上单调递减
k b
' 1 1 axf x ax x
,0a 1 0ax ' 0f x f x 0,
0,a f x 10, a
1 ,a
ln ln 1x x b kx x x
min
ln 1ln 1x bk xx x
ln 1ln 1x bg x xx x
' f xg x x f x
g x g x b k b
k b
ln ln 1x x b kx x x
ln 1ln 1x bk xx x
min
ln 1ln 1x bk xx x
ln 1ln 1x bg x xx x
'
2 2 2 2
1 ln 1 1 1 ln 1 lnx b x x b x x bg x x x x x x
'
2
f xg x x
f x 1,e
max 1 1f x f b min 1f x f e b e
1 1 0 0,1f b b
1 0f x f ' 0g x g x 1,e
min 1k g x g b 0k b
1 0f e b e 1 2e b
0f x f e ' 0g x g x 1,e
,而
③ 当 时,
在 单调递减,在 上单调递增
单调递减
综上所述: 的最大值为
min
2bk g x g e e
2 1 21bk b b be e e
1 2 1 2 11 1 1 2 0b e ee e e e e
1, 1b e
0 0
1 0
1, , 0
0
f
x e f x
f e
g x 01, x 0,x e
0
0 0 0min
0 0 0
1 1ln lnf xk g x g x x xx x x
0 0 0ln 0f x x x b
0 0 0
0 0
1 1ln 2lnk b x b x xx x
12lnh x x xx
2
'
2
2 1 11 1 0h x x x x
h x 1 0k b h
k b 0