2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版 14页

绝密★启用前 辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B得解.‎ 详解：由题得，所以.故答案为：D 点睛：本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.‎ ‎2．已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可设所求的方程为2x-y+c=0，代入已知点(2，1)，可得4-1+c=0，即c=-3，所求直线的方程为2x-y-3=0,故选A.‎ ‎3．在区间上随机取一个，则的值介于与之间的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 所以概率为 ，选B.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎4．在等差数列中，已知，则该数列的前项和等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，因为，则 ，该数列的前项和为 ‎，选B.‎ ‎5．已知实数，满足则的最大值为（ ）‎ A. 8 B. 12 C. 14 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求的最大值.‎ 详解：由题得不等式组对应的可行域如图所示,‎ 因为z=2x+y,所以y=-2x+z,直线的纵截距为z.‎ 当直线经过点A（6,2）时，直线的纵截距最大，z最大，z的最大值为2×6+2=14.‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握能力和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.‎ ‎6．下列函数求导运算正确的个数为（ ）‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用八种初等函数的导数和导数的运算法则求解判断.‎ 详解：对于①,所以错误；对于②，所以正确；‎ 对于③，所以正确；对于④ ，所以错误；‎ 对于⑤,所以错误.故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查初等函数的导数和导数的运算法则，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2) 导数的运算法则: ① ② ③‎ ‎7．已知函数的导函数为，且满足，则图象在点处的切线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求函数f(x)的导数，再求，最后求图象在点处的切线斜率.‎ 详解：由题得 令x=1,得 所以故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查导数的求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率.‎ ‎8．若函数在处有极大值，则常数为（ ）‎ A. 2或6 B. 2 C. 6 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．‎ 详解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2=x3﹣2cx2+c2x，它的导数为=3x2﹣4cx+c2，‎ 由题意知在x=2处的导数值为 12﹣8c+c2=0，∴c=6或 c=2，‎ 又函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，‎ 故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．‎ 当c=2时，=3x2﹣8x+4=3（x﹣）（x﹣2），‎ 不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．‎ 当c=6时，=3x2﹣24x+36=3（x2﹣8x+12）=3（x﹣2）（x﹣6），‎ 满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2)本题是一个易错题，容易错选A，函数f(x)在点处的导数是函数在处有极值的必要非充分条件.‎ ‎9．设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出原函数的导函数，由题意得到关于a的不等式组，求解得答案．‎ 详解：由，得，‎ 所以函数f(x)的减区间为（0,4）‎ ‎∵在区间[a﹣1，a+2]上单调递减，‎ 则 ∴实数a的取值范围是（1，2]．‎ 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用,意在考查学生对这些基础知识 的掌握能力. (2) 已知函数的增（减）区间，等价于≥（≤）0.（3）本题主要a-1‎ ‎＞0，不能取等.如果a=1,区间为[0,3],当取到0时，函数没有意义.‎ ‎10．已知函数， 是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于f（x）= ，‎ ‎∴=x﹣sinx，‎ ‎∴=﹣，故为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D，‎ 又当x=时， =﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，‎ 故选：A．‎ 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎11．函数恰有一个零点，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数恰有一个零点 ‎∴方程在上有且只有一个根，即在上有且只有一个根 令，则.‎ 当时， ，则在上单调递减；‎ 当时， ，则在上单调递增.‎ ‎∴‎ 由题意可知，若使函数恰有一个零点，则.‎ 故选D.‎ 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：‎ ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎12．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：令g（x）=‎ ‎，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的对称性和已知可得g（0）=1，从而求得不等式f（x）＞ex的解集．‎ 详解：设g（x）=，则．‎ ‎∵＜f（x），∴．∴函数g（x）是R上的减函数，‎ ‎∵函数f（x+3）是偶函数，‎ ‎∴函数f（﹣x+3）=f（x+3），∴函数关于x=3对称，∴f（0）=f（6）=1，‎ 原不等式等价为g（x）＞1，∴不等式f（x）＜ex等价g（x）＞1，即g（x）＞g（0），‎ ‎∵g（x）在R上单调递减，∴x＜0．‎ ‎∴不等式f（x）＞ex的解集为（﹣∞，0）．故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查导数研究函数的单调性和单调性的应用，意在考查学生对这些基础 知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是构造函数设g（x）=，之所以这 样构造，主要是观察已知条件和分析.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．已知函数在点处的导数为2，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由得 ，函数在点处的导数为2，所以 ，故答案为.‎ ‎14．函数在区间的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．‎ 详解：x=0时，f（0）=0．‎ x∈（0，3]时，f（x）=，当且仅当x=1时取等号．‎ ‎∴函数在区间[0，3]的最大值为3．‎ 故答案为：3‎ 点睛：（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的掌握能力.（2）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.‎ ‎15．若函数在上存在极值，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，因为函数在上存在极值，所以有两个不等实根，其判别式，所以，所以的取值范围为．‎ 考点：利用导数研究函数的极值．‎ ‎16．设函数对任意不等式 恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线．‎ 求：（1）曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）曲线过点的切线方程．‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求切线的斜率，再写出切线的方程. (2)先设切 点 )，再求出和切线方程.‎ 详解：（1）因为在曲线上，且， ‎ ‎∴在点处的切线的斜率k==4.‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为即 ‎ ‎（2）设曲线与过点的切线相切于点），则切线的斜率k==，∴切线方程为y－=（x－），‎ ‎∵点在切线上，∴ －，即,‎ ‎∴，即 解得或， ‎ ‎∴所求的切线方程为.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和曲线切线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)要区分清曲线在点P处的切线和过点P的切线的含义，曲线在点P处的切线表示点P一定是切点，过点P的切线表示点P不一定时切点，此时要设切点再解答.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值2；最小值-1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将化简为，即可求其最小正周期及其图象的对称中心的坐标；（2）由，可得，从而可求求f（x）在区间上的最大值和最小值 试题解析：：（Ⅰ）因为f（x）=4cosxsin（x+）-1‎ ‎=4cosx（sinx+cosx）-1‎ ‎=sin2x+2cos2x-1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin（2x+），‎ 所以f（x）的最小正周期为π，‎ 由2x+=kπ得：其图象的对称中心的坐标为： ；‎ ‎（Ⅱ）因为，故，‎ 于是，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；‎ 当2x+=-，即x=-时，f（x）取得最小值-1‎ 考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 ‎19．已知函数(a为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为 ‎(1)求的值及函数的极值；‎ ‎(2)证明：当时，‎ ‎【答案】（1）当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝2－ln4，f(x)无极大值．（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）首先求点的坐标，再根据，解得的值，然后求的值，以及两侧的单调性，根据单调性求得函数的极值；（2）设函数 ，根据（1）的结果可知函数单调递增，即证. ‎ 试题解析：　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.‎ 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.‎ 当xln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．‎ ‎(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，‎ 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2