2017-2018学年湖北省孝感市重点高中协作体高二下学期期末联考数学（理）试题-解析版 18页

绝密★启用前 湖北省孝感市重点高中协作体 2017-2018 学年高二下学期期 末联考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 1．设命题 ： ， ，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】分析：直接利用特称命题的否定解答. 详解：由特称命题的否定得 为： ， ，故答案为：D. 点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称 命题 ,特称命题的否定 . 2．复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：先化简复数 ，再求其共轭复数. 详解：由题得 = ，所以它的共轭复数为 . 故答案为：B. 点睛：（1）本题主要考查复数的化简和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水 平和基本的计算能力.(2) 复数 的共轭复数 3．已知 ， 是两个向量，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断. 详解：由题得 ，所以 ，所以 或 或 ， 所以 或 或 . 因为 或 或 是 的必要非充分条件, 所以“ ”是“ ”的必要非充分条件. 故答案是：B. 点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对 这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、 转化法，本题利用的是集合法. 4．用反证法证明命题“若 ，则方程 至少有一个实根”时，应假设（ ） A. 方程 没有实根 B. 方程 至多有一个实根 C. 方程 至多有两个实根 D. 方程 恰好有两个实根 【答案】A 【解析】分析：直接利用命题的否定写出假设即可,至少的反面是一个都没有。 详解：用反证法证明命题“若 ，则方程 至少有一个实根”时，要做的假 设是方程 没有实根．故选：A． 点晴：本题主要考察反证法，注意反证法证明问题时，反设实际是命题的否定 5．已知命题 是命题“若 ，则 ”的否命题；命题 ：若复数 是 实数，则实数 ，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先判断命题 p，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题 p:若 a>b,则 ，是假命题. 因为 是实数，所以 所以命题 q 是假命题， 故 是真命题.故答案为： D. 点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考 查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真， 一真“或”为真，两真“且”才真. 6．已知数列 满足 ， ，则 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】分析：先根据已知推算出数列的周期，再求 的值. 详解： ，所以 因为 ， 所以 点睛：（1）本题主要考查数列的递推和周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 求数列的某一项 时，如果 n 的取值比较大，一般与数列的周期有关，所以要推算数列 的周期. 7．在正方体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 与 所成角为 C. 平面 D. 与平面 所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】分析：A，选项异面直线求夹角，转化为共面直线求夹角即可；B，BD 垂直平 面 ACC1A1，C 选项正面线面垂直，转化正面线垂直面内两条相交的直线即可；D 选项 线面角的范围为[0,90°]，即余弦值不可能为负值 详解：设正方体 的边长为 4， A 选项：在 边上取一点 H 使得 ，连接 HF，即 所成的角 为∠ ， ，故 A 选项不正确 B 选项，BD 垂直平面 ACC1A1，故 与 垂直，B 不正确 C 选 项 ， AD⊥ 面 ABB1A1 ， 即 AD⊥ ， 取 DC 中 点 G ， 连 接 D1G ， 即 D1G⊥DF，即 DF⊥ ，即符合题意 D 选项线面角的范围为[0,90°]，即余弦值不可能为负值 故本题选 C 点晴：空间立体主要考察空间中点线面的位置关系，这类题目大家需熟练空间线面平行 垂直的判定定理和性质定理，注意线线，线面，面面角的范围及求法。 8．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：函数 在 上单调递增，即 在 上恒成立 详解： 由 在 R 上单调递增可得 在 R 上恒成立 在 R 上恒成立 解得 综上所述,答案选择:D 点晴：导数中的在给定区间单调递增，即导函数在相应区间内≥0 恒成立，在给定区间 内单调递减，即导函数≤0 恒成立。 9．证明等式 时，某学生的证明过程如下 （1）当 时， ，等式成立； （2）假设 时，等式成立， 即 ，则当 时， ，所以当 时，等式也成立， 故原式成立. 那么上述证明（ ） A. 过程全都正确 B. 当 时验证不正确 C. 归纳假设不正确 D. 从 到 的推理不正确 【答案】A 【解析】分析：本题是一道考查数学归纳法的题目，掌握利用数学归纳法证明的解题步 骤是解答本题的关键，想一想如何利用数学归纳法进行证明 详解：n=1 的验证及归纳假设都正确，但从 n=k 到 n=k+1 的推理中有使用归纳假设， 点晴：据题设条件，判断当 n=1 时，其验证及归纳假设都正确，并且假设 n=k 时不等 式成立； 数学归纳法需利用 n=k 时的归纳假设，递推出当 n=k+1 时的结果，然而本题中从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳假设，. 10．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/时）的 函数解析式为 .若要使该汽车行驶 200 千米时的油耗最 低，则汽车匀速行驶的速度应为（ ） A. 60 千米/时 B. 80 千米/时 C. 90 千米/时 D. 100 千米/时 【答案】C 【解析】分析：先设速度为 x 千米/小时，再求出函数 f(x)的表达式，再利用导数求其最 小值. 详解：当速度为 x 千米/小时时，时间为 小时， 所以 f(x)= 所以 令 当 x∈（0,90）时，函数 f(x)单调递减，当 x∈（90,120）时，函数 f(x)单调递增. 所以 x=90 时，函数 f(x)取得最小值. 故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实 际问题的能力.(2) 如果求函数在开区间 内的最值，则必须通过求导，求函数的单调 区间，最后确定函数的最值。 11．直线 与曲线 的公共点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由于已知曲线函数中含有绝对值符号， 将 x 以 0 为分界进行分类讨论， 当 x≥0 时，曲线为焦点在 y 轴上的双曲线，当 x<0 时，曲线为焦点在 y 轴上的椭圆，进 而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数， 详解：当 x≥0 时，方程 化为 ； 当 x<0 时， 化为 ， 所以曲线 是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图像可知， 直线 与曲线 的公共点的个数为 2 故答案选 B 点晴：本题主要考查了学生对直线与圆锥曲线相交的掌握情况，熟练掌握椭圆，双曲线 的区别，然后利用数形结合即可解决本题 12．函数 ， ，若 ， ，则 的取值范围 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析： 利用均值定理可得≥2， 中的 ， 即≤2，所以 a≤0 详解： 由均值不等式得 ≥2，当且仅当 x=0 取得 ≤2， ，当 a≤0 时， ≥2， ≤2 故本题选 C 点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界 性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．设空间向量 ， ，且 ，则 __________． 【答案】-2. 【解析】分析： ，利用向量共线定理即可得出结论 详解： ， ，且 即 即 m 4，n 2 ∴ 点晴：本题主要考察空间向量的平行，注意熟记平面向量平行垂直的计算，空间向量的 平行垂直的计算 14．复数 满足 ，则 __________． 【答案】5. 【解析】分析：先求复数 z，再求 . 详解：由题得 所以 .故答案为：5. 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水 平.(2) 复数 的共轭复数 . 15 ． 若 曲 线 与 直 线 ， 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 6 ， 则 __________． 【答案】 . 【解析】分析：利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求 a 的值． 详解：曲线 与直线 ， 所围成的封闭图形的面积为 6 则 解得 a= 点晴：注意用积分求面积的区别，图形在 x 轴下方时，所求积分为负值，图形在 x 轴上 方时所求积分为正值 16．过抛物线 的焦点 作直线 与该抛物线交于两点，过其中一交点 向准 线作垂线，垂足为 ，若 是面积为 的等边三角形，则 __________． 【答案】2. 【解析】分析：根据 是面积为 的等边三角形，算出边长，及∠ ，得出 p 与边长的关系 详解： 是面积为 的等边三角形 即 ∠ 即 p=2 点晴：本题主要考察抛物线的定义及性质，在抛物线类的题目中，做题的过程中要抓住 抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等的条件是做题的关键 评卷人 得分 三、解答题 17．已知复数 ，若 ，且 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数 ； （2）若 是纯虚数，求实数 的值. 【答案】(1) . (2) . 【解析】分析：（1）先根据 和 在复平面内对应的点位于第四象限求出 a 的值， 即得复数 z.(2)直接根据纯虚数的定义求 m 的值. 详解：（1）因为 ， 所以 ，所以 . 又因为 在复平面内对应的点位于第四象限，所以 ， 即 . （2）由（1）得 ， 所以 ，所以 . 因为 是纯虚数， 所以 ，所以 . 点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查 学生对这些知识的掌握水平.（2）复数 为纯虚数 不要把下面 的 b≠0 漏掉了. 18．已知函数 在 处取得极大值为 9. （1）求 ， 的值； （2）求函数 在区间 上的最值. 【答案】(1) . (2) 函数 在区间 上的最大值为 9，最小值为 . 【解析】分析：（I）首先求解导函数，然后结合 ，可得 . （II）由（I）得 ，结合导函数研究函数的单调性和 最值可知函数 在区间 上的最大值为 9，最小值为 . 详解：（I） 依题意得 ， 即 ，解得 .经检验，上述结果满足题意. （II）由（I）得 ， 令 ，得 ；令 ，得 ， 的单调递增区间为 和 ， 的单调递增区间是 ， ， ， 所以函数 在区间 上的最大值为 9，最小值为 . 点睛：(1)可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右 侧 f′(x)的符号不同． (2)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增 或减的函数没有极值． 19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2) . 【解析】分析：（1）证 ， .即可由线面垂的判定定理得出结论； （2）通过建系，分别求出面 DSC 和面 SCA 的法向量 ，进行计算， 观察图中二面角的范围得出余弦值的符号 （1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 所以 平面 ，所以 . 又因为 ， ，所以 ，即 . 因为 ，且 平面 ， 所以 平面 . （2）解：如图，建立空间直角坐标系 ，令 ，则 ， ， ， ， . 易得 ， ， . 设 为平面 的一个法向量，则 ，取 ，则 ， ， 所以 . 又因为 为平面 的一个法向量，所以 . 所以二面角 的余弦值为 . 点晴：空间立体是高考必考的解答题之一，在做这类题目时，正面题大家需要注意书写 的步骤分，判定定理的必要点必须要有；另外在求角等问题时我们可以利用向量法进行 解决问题，注意角的范围问题。 20．已知椭圆 ： 的离心率 ，该椭圆中心到直线 的距 离为 . （1）求椭圆 的方程； （2）是否存在过点 的直线 ，使直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆 过定点 ？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) . (2) 存在直线 ： 或 ： ，使得以 为直径的圆经过点 . 【解析】分析：由 ，该椭圆中心到直线 的距离为 ， 求出椭 圆方程； （2）先假设存在这样的直线，设出直线方程（注意考虑斜率），与椭圆联立，考虑 然 后 设 ， ， 利 用 韦 达 定 理 ， 利 用 为 直 径 的 圆 过 定 点 ， 转 化 ，转化坐标构造方程进行求解。 详解：（1）直线 的一般方程为 ， 依题意得 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）当直线 的斜率不存在时，直线 即为 轴，此时 ， 为椭圆 的短轴端点，以 为 直径的圆经过点 . 当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，由 ， 得 . 所以 ，得 . 设 ， ，则 ，① 而 . 因 为 以 为 直 径 的 圆 过 定 点 ， 所 以 ， 则 ， 即 . 所以 .② 将①式代入②式整理解得 . 综上可知，存在直线 ： 或 ： ，使得以 为直径的圆经过点 . 点晴：本题考查直线与椭圆的位置关系，这类题目一般涉及设直线方程，然后和椭圆联 立，设点，考虑 ，然后利用韦达定理，接下来就是对题干的转化啦，本题中典型的垂 直问题，主要转化方向就是向量点乘，因为斜率的话还需要考虑斜率是否存在。 21．已知函数 . （1）若函数 的图象在 处的切线方程为 ，求 ， 的值； （2）若 ， ，使 成立，求 的取值范围. 【答案】(1) . (2) . 【解析】分析： 的图象在 处的切线方程为 ，得出（1， ）坐标带 入 中，及 = ，即可解出 ， 的值 （2）构造函数 ， 在 上的最大值为 ，问题等价 于 ： ， 不 等 式 恒 成 立 ， 构 造 > 进行解决问题 详解： ， （1） ， ， 由 ， 得 . 令 ， ， 所以函数 在 上单调递增，又 ，所以 . （2）令 ，因为当 时，函数 在 上单调递增，所以 ， 于是函数 在 上一定单调递增. 所以 在 上的最大值为 . 于是问题等价于： ，不等式 恒成立. 记 ， 则 . 当 时，因为 ， ，所以 ， 则 在区间 上单调递减，此时， ，不合题意. 故必有 . 若 ，由 可知 在区间 上单调递减， 在此区间上，有 ，与 恒成立矛盾. 故 ，这时 ， 在 上单调递增， 恒有 ，满足题设要求. 所以 ，即 . 所以 的取值范围为 . 点晴：本题主要考察导数综合题：能成立恒成立问题，这类型题目主要就是最值问题， 学会对问题的转化是关键，本题主要在做题的过程中构造函数后发现 是解决本题 的关键。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 ： ，直线 ： ，直线 ： ，以 坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线 的参数方程以及直线 ， 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 分别交于 ， 两点，直线 与曲线 分别交于 ， 两点，求 的面积. 【答案】(1) （ 为参数）， ： ， ： . (2) . 【解析】分析：（1）直接根据圆的参数方程求出曲线 C 的参数方程，利用极坐标公式 求出直线 ， 的极坐标方程.(2)先求出 OA,OB,再利用三角形面积公式求 的面积. 详解：（1）依题意，曲线 ： ，故曲线 的参数方程是 （ 为 参数）， 因为直线 ： ，直线 ： ，故 ， 的极坐标方程为 ： ， ： . （2）易知曲线 的极坐标方程为 ， 把 代入 ，得 ，所以 . 把 代入 ，得 ，所以 . 所以 . 点睛：（1）本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标的互化，考查极坐标的应 用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)第 2 问，化成直角坐标也可以 解答，但是利用极坐标解答效率更高. 23．[选修 4-5：不等式选讲] 设函数 . （1）若不等式 的解集为 ，求 的值； （2）在（1）的条件下，若不等式 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由条件得 ，进而得 ，解得不 等式对应解集为 ，即可得解； （2）不等式 恒成立，只需 ，从而得解. 试题解析： 解：（1）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 因为不等式 的解集为 ， 所以 ，解得 . （2）由（1）得 .不等式 恒成立， 只需 ， 所以 ，即 ， 所以 的取值范围是 .