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- 2021-06-24 发布
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云天化中学2018—2019学年上学期期末测试
高二年级理科数学试卷
第I卷（选择题，共分）
一、选择题：（本大题共小题，每小题分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．的内角的对边分别是，已知，则等于（ ）
A． 3 B． 2 C． D．
3．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A． 623 B． 328 C． 253 D． 007
7．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．
8．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线过点且与椭圆相交于两点，则使得点为弦中点的直线斜率（ ）
A． B． C． D．
10．函数是上的偶函数，对有，当时， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为， .若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12．设为双曲线
的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
14题图
第Ⅱ卷 客观题（共分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．若变量满足约束条件，则目标函数的最大值是______．
14．执行右图所示的程序框图，如果输入的，则输出的_______．
15．焦点为(0,6)，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是________．
16．已知椭圆 内有一点 ，为椭圆的右焦点，为椭圆上
的一个动点，则 的最大值为__________．
三、解答题：（本大题共小题，共分，其中17题10分，其余每题12分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）在中，角所对应的边分别为，
且.
（1）求角的大小；
（2）若， 的面积为，求该三角形的周长.
18题图
18．（本小题满分12分）2017年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速
的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在的车辆中任抽取2辆，
求车速在的车辆恰有一辆的概率．
19．(本小题满分12分)．设是数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
20．(本小题满分12分)如图， 是平面四边形的对角线， ， ，且.现在沿所在的直线把折起来，使平面平面，如图.
（1）求证： 平面；
20题图
（2）求点到平面的距离.
21．（本小题满分12分）已知圆过，两点，且圆心在
上．
（1）求圆的方程；
（2）设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值．
22. （本小题满分12分）已知动圆与圆相内切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线交于两点，点为线段的中点，若，求面积取最大值时的直线的方程（为坐标原点）.
云天化中学2018—2019学年度阶段测试
高二年级理科数学答案
一、选择题（本大题共小题，每小题分）
题号
答案
D
A
C
D
B
A
C
C
A
B
A
B
1．【解析】集合， ， ，故选D.
2．【解析】由余弦定理得 （负舍），选A.
3．【解析】因为 ，又，
所以，选C.
4.【解析】试题分析：在椭圆中，，因此，因此焦点坐标为；选D.
5．【解析】全称性命题的否定是特称命题，要否定结论，所以选B.
6．【解析】分析：从第五行第六列开始向右读，依次读取，将其中不符合要求的也就是超范围的数据去掉，再将重复的去掉，最后找到满足条件的数据.
详解：从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623，故选A.
7．【解析】易知圆的圆心为，半径为，又圆心到直线的距离为，则，解得或.故选C.
8．【解析】A,D周期为，故排除；
当时， ， 满足，故选C.
9．【解析】试题分析：用点差法：设，则有，两式作差：，
又因为，所以，故选A.
10．【解析】上的偶函数，且一个周期是6 ， ，故选B.
11.【解析】根据正弦定理可知，所以 ，而，即， 所以 ，解得： ，而 ，即 ，整理得： ，解得， ，又因为双曲线的，所以 ，故选A.
12.【答案】B
【解析】设,则。在中由余弦定理可得。
∴,
∴为直角三角形，且。
设双曲线的右焦点为F1，连P F1,Q F1，由题意可得点关于原点对称，所以四边形FPF1Q为矩形，因此。
由双曲线的定义得，又，所以， ，
在中，由勾股定理得，
即，
整理得，
∴。
即该双曲线的离心率为。选B。
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.【解析】答案:3
【解析】由题意得，执行上述循环结构，可得，第1次循环： ；
第2次循环： ；第3次循环： ，
此时终止循环，输出结果，
14.【答案】2
【解析】不等式组表示的平面区域如下图
由上图可知，目标函数在点处取得最大值，最大值为2.
15．答案：
【解析】由，得双曲线的渐近线为.设双曲线方程为，
∴.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为
答案：
16．答案为.
【解析】
由椭圆，可得，椭圆左焦点为，则， ， 由图可知，当为的延长线与椭圆的交点时， 有最大值为， 的值最大值为，
故答案为.
三、解答题：（本大题共小题，共分，其中17题10分，其余每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）
解析：（1）由得
∴
∴ ∵
∴
（2）∵ ∴
又
∴ ∴
∴周长为6.
18.（本小题满分12分）
试题解析：
（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，解得．
即中位数的估计值为．
（2）从图中可知，车速在的车辆数为： （辆），
车速在的车辆数为： （辆），
设车速在的车辆设为， ，车速在的车辆设为， ， ， ，则所有基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15种，
其中车速在的车辆恰有一辆的事件有： ， ， ， ， ， ， ， 共8种．
所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为．
19．(本小题满分12分)试题解析：(I)解：当时，由，得，
两式相减，得，
.
当时， ，则.
∴数列是以为首项，公比为3的等比数列.
.
(II)解：由(I)得
， ①
， ②
①-②得
.
.
20．（本小题满分12分）
【解析】试题分析：（1）由平面平面，平面 平面，且平面,且，根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，连.由，可得，又平面，所以，又 ，所以平面，因此就是点到平面
的距离，在中， ， ，所以.
试题解析：（1）证明：因为平面 平面
平面平面 ，
平面,且，
所以平面.
（2）取的中点，连.因为，所以，
又平面，所以，
又 ，所以平面，
所以就是点到平面的距离，在中， ， ，所以.所以是点到平面的距离是 .
21．（本小题满分12分）
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设圆的方程为：，根据题意得，解得：，故所求圆的方程为：；
（2）由题知，四边形的面积为
．又，，
所以，
而，即．
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上
找一点，使得的值最小，
所以，
所以四边形面积的最小值为．
22. （本小题满分12分）
【答案】（1）（2）1
【解析】试题解析：（1）设动圆的半径为，则
所以圆心的轨迹为以与为焦点的椭圆，
设椭圆
则，所以曲线的方程：
（2）显然直线斜率不为零，可设直线，
由方程组 ①
．
，
②，
设直线与轴的交点为，则，
令，
设，
则，
当时，即时， 的面积取得最大值1
此时直线
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