【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理学案 8页

第7课时　正弦定理和余弦定理(对应学生用书(文)、(理)64 66页)‎ ‎　　正、余弦定理及三角形面积公式．‎ ‎　　掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形．‎ ‎1. (必修5P9练习2改编)在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝__________．‎ 答案：2‎ 解析：C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.‎ ‎2. (必修5P11习题1.1题6改编)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC＝________．‎ 答案：7‎ 解析：因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACsin A，所以10＝×5×8×sin A，解得sin A＝.因为角A为锐角，所以cos A＝.根据余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8×cos A＝52＋82－2×5×8×＝49，所以BC＝7.‎ ‎3. (必修5P16练习2改编)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为__________ .‎ 答案：直角三角形 解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，所以sin(B＋C)＝sin‎2A，即sin A＝sin‎2A.因为A为三角形内角，所以sin A＝1，即A＝，故△ABC是直角三角形．‎ ‎4. (必修5P15练习5改编)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为__________．‎ 答案：或 解析：∵ ＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴ sin B＝.∵ B∈(0，π)，∴ B＝或.‎ ‎5. 在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝__________．‎ 答案：1‎ 解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，又a＝4，b＝5，c＝6，∴ ＝＝2··cos A＝2××＝1.‎ ‎1. 正弦定理 ＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．　‎ 常用变形：‎ ‎① a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎② sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎③ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.‎ ‎2. 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C或cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ ‎3. 三角形中的常见结论 ‎(1) A＋B＋C＝π.‎ ‎(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B⇒a>b⇒sin A>sin B.‎ ‎(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ ‎(4) △ABC的面积公式 ‎① S＝a·h(h表示a边上的高)；‎ ‎② S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝；‎ ‎③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；‎ ‎④ S＝，其中P＝(a＋b＋c).‎ ‎,　　　　　　　　　1　正弦定理、余弦定理的简单应用)‎ ‎,　　　　　1)　(1) 在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边长为__________；‎ ‎(2) 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝__________．‎ 答案：(1) 7　(2) 解析：(1) 因为△ABC的面积为AB·ACsin 120°＝××AC＝，解得AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25＋15＝49，所以BC＝7.‎ ‎(2) 根据正弦定理，设＝＝＝ ，则a＝ sin A，b＝ sin B，c＝ sin C，代入asin Bcos C＋csin B·cos A＝b，整理得sin Acos C＋cos Asin C＝，即sin(A＋C)＝.又sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，所以sin B＝.因为a>b，所以B必为锐角，所以B＝.‎ 变式训练 ‎(1) (2017·扬州中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝‎ ，b＝3，A＝60°，则c的值为________．‎ ‎(2) 在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于__________．‎ 答案：(1) 4　(2) 解析：(1) a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－‎2c×3×cos 60°，即c2－‎3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．‎ ‎(2) 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即()2＝22＋AB2－4AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.‎ ‎,　　　　　　　　　2　利用正、余弦定理判定三角形的形状)‎ ‎,　　　　　2)　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的长，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(‎2c＋b)sin C.‎ ‎(1) 求A的大小；‎ ‎(2) 若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．‎ 解：(1) 由已知，根据正弦定理得 ‎2a‎2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 故cos A＝－.又0