2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(四十六)　直线、平面垂直的判定及其性质 7页

课时跟踪检测(四十六)　直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 ‎1．(2015·海淀模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(　　)‎ A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直 ‎2．(2015·石家庄调研)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C．若a∥α且a∥β，则α∥β D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β ‎3．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)‎ A．不存在　　　　　　　　 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎4．(2015·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是(　　)‎ A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m B．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m D．l⊂α，l∥m，且m⊥β ‎5．(2015·天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥DABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②④ B．①②③‎ C．②③④ D．①③④‎ ‎6．如图，直三棱柱ABC A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 二、填空题 ‎7．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ ‎8．(2015·福建四地六校月考)点P在正方体ABCDA1B‎1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：‎ ‎①三棱锥AD1PC的体积不变；‎ ‎②A1P∥平面ACD1；‎ ‎③DP⊥BC1；‎ ‎④平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 其中正确的命题序号是________．‎ ‎9．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：‎ ‎①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.‎ 其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)‎ ‎10．(2015·海淀期末)已知某四棱锥的底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．‎ ‎(1)若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________；‎ ‎(2)关于该四棱锥的下列结论中：‎ ‎①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；‎ ‎②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；‎ ‎③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．‎ 所有正确结论的序号是________．‎ 三、解答题 ‎11．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABCA1B‎1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．‎ ‎(1)求证：BF∥平面A1EC；‎ ‎(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎12．如图，在正方体ABCD A1B‎1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．‎ ‎(1)求证：AE⊥DA1；‎ ‎(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.‎ 答案 ‎1．选D　对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．‎ ‎2．选D　A项中，应该是b∥α或b⊂α；B项中，如果是墙角的三个面就不符合题意；C项中，α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确；所以选D.‎ ‎3．选D　过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.‎ ‎4．选D　对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，如图(1)，α，β不垂直；‎ 对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，如图(2)，α，β不垂直；‎ 对于C，m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m，直线l没有确定，则α，β的关系也不能确定；‎ 对于D，l⊂α，l∥m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.‎ ‎5．选B　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.‎ ‎6．选A　设B‎1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.‎ 又2×＝h，所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，B1E＝＝.‎ 由面积相等得× ＝x，得x＝.‎ ‎7．解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∴BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.‎ 而PC⊂平面PCD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)‎ ‎8．解析：由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面AD‎1C，直线BC1⊄平面AD‎1C，所以直线BC1∥平面AD‎1C.‎ 所以VAD1PC＝VPAD‎1C.点P到平面AD‎1C的距离不变，所以体积不变．故①正确；‎ 连接A‎1C1，A1B，可得平面AD‎1C∥平面A‎1C1B.‎ 又因为A1P⊂平面A‎1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；‎ 当点P运动到B点时△DBC1是等边三角形，‎ 所以DP不垂直BC1.故③不正确；‎ 因为直线AC⊥平面DB1，DB1⊂平面DB1.‎ 所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.‎ 所以可得DB1⊥平面AD‎1C.‎ 又因为DB1⊂平面PDB1.‎ 所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 故④正确．综上正确的序号为①②④.‎ 答案：①②④‎ ‎9．解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．‎ 答案：①③‎ ‎10．解析：(1)由三视图知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，如图所示，所以该四棱锥的体积为×2×2×1＝.(2)由图可知PQ⊥平面ABCD，则有PQ⊥AB，又AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC，于是侧面PAB⊥侧面PBC，同理可知侧面PDC⊥侧面PBC，故①正确；由上述易知AB⊥PB，CD⊥PC，所以△PAB，△PCD为直角三角形，又四棱锥的侧视图为直角三角形，所以△PBC为直角三角形，故②正确；由图易判断平面PAB与平面PAD不垂直，故③正确．综上知①②③均正确．‎ 答案：(1)　(2)①②③‎ ‎11．证明：(1)连接AC1交A‎1C于点O，连接OE，OF，‎ 在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，四边形ACC‎1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.‎ 又因为F为AC中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.‎ 因为E为BB1中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1.‎ 所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.‎ 又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，‎ 所以BF∥平面A1EC.‎ ‎(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC中点，‎ 所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.‎ 又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，‎ 所以AA1⊥BF.‎ 由BF∥OE，得OE⊥AA1，而AA1，AC⊂平面ACC‎1A1，且AA1∩AC＝A，‎ 所以OE⊥平面ACC‎1A1.‎ 因为OE⊂平面A1EC，‎ 所以平面A1EC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎12．解：(1)证明：连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，‎ ‎∴DA1⊥平面ABC1D1，‎ 又AE⊂平面ABC1D1，‎ ‎∴DA1⊥AE.‎ ‎(2)所求G点即为A1点，证明如下：‎ 由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，‎ ‎∵AE⊂平面AHE，‎ ‎∴DF⊥AE.‎ 又DF∩A1D＝D，‎ ‎∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.‎