2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第54讲课件（27张）（全国通用） 27页

第 54 讲　圆的方程 考试要求　 1. 确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程 (C 级要求 ) ； 2. 高考中可能重点关注圆的方程的求法，以及直线与圆、圆与圆的位置关系 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 确定圆的几何要素是圆心与半径 .( 　　 ) (2) 方程 x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示半径为 a 的圆 .( 　　 ) (3) 方程 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 mx － 2 y ＋ 5 m ＝ 0 表示圆 .( 　　 ) (4) 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠0 ， B ＝ 0 ， D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0.( 　　 ) 诊 断 自 测 解析　 (2) 当 a ＝ 0 时， x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示点 (0 ， 0) ；当 a ＜ 0 时，表示半径为 | a | 的圆 . 答案　 (1)√ 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 2. 圆心是 ( － 2 ， 3) ，且经过原点的圆的标准方程为 ________. 答案　 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 13 3. (2018· 镇江一模 ) 圆心在直线 y ＝－ 4 x 上，且与直线 x ＋ y － 1 ＝ 0 相切于点 P (3 ，－ 2) 的圆的标准方程为 ________. 答案　 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 8 4. (2016· 浙江卷 ) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 ________ ，半径是 ________. 解析　 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心，半径为 5 的圆 . 答案 　 ( － 2 ，－ 4) 　 5 5. 已知点 P (1 ， 1) 在圆 C ： x 2 ＋ y 2 － ax ＋ 2 ay － 4 ＝ 0 的内部，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析　 因为点 P 在圆内，所以 1 ＋ 1 － a ＋ 2 a － 4<0 ，所以 a <2. 答案　 ( － ∞ ， 2) 1. 圆的定义与方程 知 识 梳 理 定义 平面内 到 _______ 的 距离 等于 _______ 的 点的集合叫圆 方程 标准 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0) 圆心 ________ 半径 为 _____ 一般 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 充要条件 ： ___________ 圆心 坐标： 半径 r ＝ 定点 定长 ( a ， b ) r D 2 ＋ E 2 － 4 F >0 2. 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于 a ， b ， r 或 D ， E ， F 的方程组； (3) 解出 a ， b ， r 或 D ， E ， F 代入标准方程或一般方程 . 3. 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 . 圆的标准方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，点 M ( x 0 ， y 0 ) (1) 点在圆上 ： _________________ ____ ； (2) 点在圆外 ： _____________________ ； (3) 点在圆内 ： _____________________ . ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 > r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 < r 2 考点一　求圆的方程 【例 1 】 ( 一题多解 ) 一个圆经过 A (3 ，－ 2) ， B (2 ， 1) 两点，求分别满足下列条件的圆的方程 . (1) 圆心在直线 x － 2 y － 3 ＝ 0 上； (2) 在两坐标轴上的四个截距之和为 2. 故所求圆的方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 5. 所以 a ＋ b ＝ 1. 又因为点 ( a ， b ) 在线段 AB 的中垂线上， 规律方法　 (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 . (2) 待定系数法 ① 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a ， b ， r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D ， E ， F 的方程组，进而求出 D ， E ， F 的值 . (2)( 2018· 苏北四市联考 ) 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A (1 ， 0) ，且被 x 轴分成两段弧，弧长之比为 1 ∶ 2 ，则圆 C 的标准方程为 ________. (2) ∵ 圆 C 关于 y 轴对称， ∴ 可设 C (0 ， b ) ， 设圆 C 的半径为 r ，则圆 C 的标准方程为 x 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ， 考点二　与圆有关的最值问题 【例 2 】 (1)( 2018· 盐城检测 ) 已知点 ( x ， y ) 在圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 3) 2 ＝ 1 上，求 x ＋ y 的最大值和最小值 . (2) (2015· 江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx － y － 2 m － 1 ＝ 0( m ∈ R ) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ________. (1) 解　 设 t ＝ x ＋ y ，则 y ＝－ x ＋ t ， t 可视为直线 y ＝－ x ＋ t 的纵截距， ∴ x ＋ y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距 . 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 答案 　 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 2 【训练 2 】 ( 2018· 扬州模拟 ) 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0. 求： ( 2) 设 y － x ＝ b ，则 y ＝ x ＋ b ，当且仅当直线 y ＝ x ＋ b 与圆切于第四象限时，截距 b 取最小值， ( 3) x 2 ＋ y 2 是圆上的点与原点的距离的平方，故连接 OC ，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C ′ ，则 考点三　与圆有关的轨迹问题 【例 3 】 ( 2018· 盐城模拟 ) 已知圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上一定点 A (2 ， 0) ， B (1 ， 1) 为圆内一点， P ， Q 为圆上的动点 . (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程； (2) 若 ∠ PBQ ＝ 90° ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 . 解　 (1) 设 AP 的中点为 M ( x ， y ) ， 由中点坐标公式可知 P 点坐标为 (2 x － 2 ， 2 y ). 因为 P 点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上， 所以 (2 x － 2) 2 ＋ (2 y ) 2 ＝ 4 ， 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 . (2) 设 PQ 的中点为 N ( x ， y ) ，在 Rt △ PBQ 中， PN ＝ BN . 设 O 为坐标原点，连接 ON ，则 ON ⊥ PQ ， 所以 OP 2 ＝ ON 2 ＋ PN 2 ＝ ON 2 ＋ BN 2 ， 所以 x 2 ＋ y 2 ＋ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 － x － y － 1 ＝ 0. 规律方法　 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程 . (2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程 . (3) 几何法，利用圆的几何性质列方程 . (4) 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 . 【训练 3 】 设定点 M ( － 3 ， 4) ，动点 N 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上运动，以 OM ， ON 为邻边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹 . 又 N ( x ＋ 3 ， y － 4) 在圆上， 故 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 4.