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- 2021-06-24 发布
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2018-2019学年安徽省宣城市八校高一上学期期末联考数学试题
一、单选题
1. ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三角函数的诱导公式可得,即可求解.
【详解】
由三角函数的诱导公式可得,故选A.
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求值问题,其中解答中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
2.设集合, , 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】求得集合,得到或,根据集合的交集的运算,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,可得集合,
则或,
又由,所以,故选C.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中正确求解集合A,再根据集合的运算,准确求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
3.已知, , , 则三者的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据实数指数幂的运算与对数的运算性质,求得的取值范围,即可求解.
【详解】
由题意,根据实数指数幂的运算性质,可得,,
根据对数运算的性质,可得,
所以,故选C.
【点睛】
本题主要考查了三个数的大小比较问题,其中解答中合理利用指数幂的运算性质,以及对数的运算性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
4.函数的零点所在区间为( )
A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4)
【答案】B
【解析】判断函数在区间端点处的函数值的符号,利用零点的存在定理,即可求解.
【详解】
由题意知,函数,
因为,,
所以,
又根据基本初等函数的单调性,可得函数函数为定义域上的单调递增函数,所以函数在区间上存在零点,故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中熟练应用函数的零点存在定理,以及基本初等函数的单调性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
5.函数的图象大致是( )
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.
【详解】
由为偶函数可排除A,C;
当时,图象高于图象,即,排除B;
故选:D
【点睛】
识图常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;
(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;
(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
6.设函数, 则函数定义域为( )
A. B. C.(0, 4] D.(0, 1]
【答案】A
【解析】根据函数的解析式,求得函数的定义域,再由在的定义域内求解得范围,即可得到答案.
【详解】
由题意,函数,则函数满足,解得,
所以函数满足,解得,即函数的定义域为.
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的定义及求解,其中解答中熟记函数的定义域的定义,合理利用定义域的定义列出相应的不等关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,数基础题.
7.要得到函数的图象, 只需将函数的图象( )
A.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
C.所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
D.所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
【答案】D
【解析】根据三角函数的图象变换,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得,再将函数图象的各点向左平移个单位,可得,
所以要得到函数的图象, 只需将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位,故选D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换,其中解答中熟记三角函数图象变换的原则,合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
8.已知向量, ,若, 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据向量, 求得,再利用三角函数的基本关系化简,即可求解.
【详解】
由题意,向量, ,
因为, 所以,即,即,
则,故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的共线定理的应用,以及三角函数的基本关系式的应用,其中解答中根据向量的共线定理得到的值,再利用三角函数的基本关系式化简、求值是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
9.函数的递增区间是( )
A. () B. ()
C. () D. ()
【答案】C
【解析】利用三角恒等变换的公式,化简得由函数,再根据余弦型函数的性质,即可求解函数的单调递增区间,得到答案.
【详解】
由函数,
令,整理得,
所以函数的单调递增区间为,故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的化简,以及三角函数的性质的应用,其中解答中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,再利用三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
10.已知函数, 则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,化简函数,再利用倒序相加法,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,函数
设,
则,
所以,
所以,故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的化简求值,以及利用倒序相加求和,其中解答中化简函数,再利用倒序相加法求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
11.如图,在梯形中, , 为线段上一点,且,为的中点, 若(, ),则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直接关键向量的线性运算,化简求得,求得的值,即可得到答案.
【详解】
由题意,根据向量的运算法则,可得:
又因为,所以,
所以,故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及其应用,其中解答中熟记向量的线性运算法则,合理应用向量的三角形法则化简向量是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
12.定义域为的函数 ,若关于的方程
有5个不同的实数解,,,,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时,函数,解得,,当时,函数,可解得或,当时,函数,可解得或,进而可求的,即可得到结论.
【详解】
由题意得,当时,函数,由,即,
则,,且.
当时,函数,
由,得,
解得或,解得或,
当时,函数,
由,得,
解得或,解得或,
所以,
故选D.
【点睛】
本题主要考查了对数函数,及函数与方程的综合应用,试题有一定的难度,属于中档试题,其中解答中根据条件分别按三种情况分类讨论求得方程的5个不同的解,进而根据对数的运算性质求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
二、填空题
13.=_____________.
【答案】12
【解析】根据指数幂与对数的运算性质,即可化简,得到答案.
【详解】
由题意,根据指数幂与对数的运算性质,可得
.
【点睛】
本题主要考查了根据指数幂与对数的运算性质的化简求值,其中解中熟记指数幂与对数的运算性质,合理准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
14.若满足,,且,则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】试题分析:由题设可得,即,也即,所以,故应填.
【考点】向量的数量积公式及运用.
15.已知函数 ()的图象关于点(, 0)对称, 则的值是__________.
【答案】
【解析】根据的对称点,得到,解得,进而求解答案.
【详解】
由题意,函数()的图象关于点(, 0)对称,
所以,解得,即,
又因为,所以.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的对称中心的性质,准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
16.关于函数,有下列结论:
①的定义域为(-1, 1); ②的值域为(, );
③的图象关于原点成中心对称; ④在其定义域上是减函数;
⑤对的定义城中任意都有.
其中正确的结论序号为__________.
【答案】①③⑤
【解析】根据对数函数的定义求得函数的定义域,得到①正确,根据对数函数的奇偶性的定义,判定③正确,根据函数单调性的定义求得④不正确,根据对数函数的性质求得②不正确;根据对数的运算性质可判定⑤正确.
【详解】
由题意,函数,所以,解得,
所以函数的定义域为,所以①是正确的;
由,令,则,
令,解得,所以函数的值域为R,所以②是不正确;
因为,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,所以③是正确的;
设,且,
则
因为,,所以,所以,
即,所以函数定义域上的单调递增函数,所以④不正确;
由,所以⑤是正确的;
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域与值域,对数的运算性质,以及函数的的单调性与奇偶性的定义的判定与应用,其中熟记函数的定义域,以及对数函数的性质,合理运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
三、解答题
17.已知全集,集合为函数的定义域, .
(1)若, 求和;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1) , (2)或
【解析】(1)根据对数函数的性质,求得集合 ,当时,,利用集合的运算,即可求解.
(2)由,得到或,即可求解实数m的取值范围.
【详解】
(1)由题意,函数,满足,解得,
即集合
当时,,
∴ ,
(2)因为,所以或,即或
【点睛】
本题主要考查了对数函数的定义域,以及集合的运算及应用,其中解答中熟记对数函数的性质,以及熟练应用集合的运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
18.在平面直角坐标系中, 已知点,,
(1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)在中,设是边上的高线, 求点的坐标.
【答案】(1)和(2)(一1,2)
【解析】(1)由题意求得 ,利用向量的模的运算公式,即可求解.
(2)设,根据共线向量,求得 ,进而利用,求得,即可得出点D的坐标.
【详解】
(1)由题意,可得,,则 ,
所以,
即两条对角线的长为和 .
(2)设点的坐标为,由点在上,设,
则,∴,即
∴,∵,
∴,即,解得,
即点D的坐标为(-1,2)
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算,以及共线向量与向量模的应用,其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式,以及共线向量的表示是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
19.已知向量, (其中),函数, 其最小正周期为.
(1)求函数的解析式.
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)(2)最大值为3,最小值为0
【解析】(I)由三角恒等变换的公式,化简得,再由函数的最小正周期,求得,即可得到函数的解析式;
(2)由,所以,所以,即可求解函数的最值.
【详解】
(I)由题意,函数
,
因为最小正周期为,所以,解得,即
(2)由,所以,所以,
所以,即的最大值为3,最小值为0
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,以及三角函数的性质的应用,其中熟练应用三角函数恒等变换的公式化简函数的解析式,熟记三角函数的性质及其应用是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
20.已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.
(1)求;
(2)试判断在上的单调性,并证明;
(3)解不等式:.
【答案】(1)(2)在上单调递减(3)
【解析】(1)令,得,令,得,即可求解的值;
(2)利用函数的单调性的定义,即可证得函数为上单调递减函数,得到结论.
(3)令,得,进而化简得,再根据函数的单调性,得到不等式,即可求解.
【详解】
(1)由题意,令,得,解得
令,得,所以.
(2)函数在上单调递减,证明如下:
任取,且,
可得
,
因为,所以,所以
即,所以在上单调递减.
(3)令,得,∴
∴
∴,又在上的单调且
∴,∴.
∴,即不等式解集为.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的求值问题,以及函数的单调性的判定与应用,其中解答中熟练应用抽象函数的赋值法求值,以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
21.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形的半径为200米,圆心角,点在上,点在上,点在弧上,设.
(1)若矩形是正方形,求的值;
(2)为方便市民观赏绿地景观,从点处向修建两条观赏通道和(宽度不计),使, ,其中依而建,为让市民有更多时间观赏,希望最长,试问:此时点应在何处?说明你的理由.
【答案】(1)矩形是正方形时, (2)当是的中点时, 最大
【解析】试题分析:(1)因为四边形是扇形的内接正方形,所以,注意到,代入前者就可以求出. (2)由题设可由, ,利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式,从而求出的最大值.
解析:(1)在中, , ,在中,
, 所以 ,因为矩形是正方形, ,所以,所以,所以 .
(2)因为所以, , .所以, 即时, 最大,此时是的中点.
答:(1)矩形是正方形时, ;
(2)当是的中点时, 最大.
22.已知函数()为偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数,,是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在使得最小值为0.
【解析】(1)根据函数是偶函数,得,代入整理得,即对一切恒成立,即可求解的值;
(2)由(1)知,,令,则,分类求得函数的单调性和最小值,即可得到结论.
【详解】
(1)由题意,函数是偶函数可得,
所以 ,
即,即对一切恒成立,解得 .
(2)由(1)知,,令,则,
①当时,在单调递增,∴,不符;
②当时,图像对称轴,则在单调递增,
∴,∴(舍);
③当时,图像对称轴,
(i)当,即时,,∴,∴;
(ii)当,即时,,∴,∴(舍)
综上,存在 使得最小值为0.
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用,以及函数单调性与最值的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性的应用,以及利用换元法,合理分类讨论得出函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.