2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第八章　第6讲　空间向量及其运算 25页

第6讲　空间向量及其运算 一、知识梳理 ‎1．空间向量的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ ‎2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)‎ ‎(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.‎ ‎(2)两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(3)向量的数量积的性质 ‎①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；‎ ‎②a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎③|a|2＝a·a＝a2；‎ ‎④|a·b|≤|a||b|.‎ ‎(4)向量的数量积满足如下运算律 ‎①(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②a·b＝b·a(交换律)；‎ ‎③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．‎ ‎3．空间向量的坐标运算 ‎(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．‎ a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，‎ a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，‎ λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，‎ a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，‎ a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，‎ cos〈a，b〉＝＝ .‎ ‎(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，‎ 则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．‎ ‎4．直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．‎ ‎(2)平面的法向量 ‎①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．‎ ‎②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 ‎5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2‎ l1∥l2‎ n1∥n2⇔n1＝λn2‎ l1⊥l2‎ n1⊥n2⇔n1·n2＝0‎ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0‎ l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0‎ 常用结论 ‎1．向量三点共线定理 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．‎ ‎2．向量四点共面定理 在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．‎ 二、教材衍化 ‎1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．‎ 解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ 答案：－a＋b＋c ‎2．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．‎ 解析：||2＝2＝(＋＋)2‎ ‎＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)‎ ‎＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)‎ ‎＝2，‎ 所以||＝，所以EF的长为.‎ 答案： ‎3．如图所示，‎ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．‎ 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以＝(－2，0，1)，＝(1，0，2)，·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON.‎ 答案：垂直 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)‎ ‎(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)‎ ‎(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)‎ ‎(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)‎ ‎(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)‎ ‎(6)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ 二、易错纠偏 在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．垂直　　　　　　　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析：选B.由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.‎ ‎　　　　　　空间向量的线性运算(自主练透)‎ ‎1．在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)‎ A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)‎ C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)‎ 解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以＝－ ‎，＝(＋)，＝(＋)．‎ 所以＝(＋)－(＋)＝(＋)‎ ‎＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]‎ ‎＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．‎ ‎2.在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示(1)；(2).‎ 解：(1)＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋[(＋)－]‎ ‎＝－＋＋.‎ ‎(2)＝＋ ‎＝－＋＋ ‎＝＋＋.‎ ‎3.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)；(3)＋.‎ 解：(1)因为P是C1D1的中点，‎ 所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)因为N是BC的中点，‎ 所以＝＋＋＝－a＋b＋ ‎＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.‎ ‎(3)因为M是AA1的中点，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－a＋ ‎＝a＋b＋c，‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 用已知向量表示未知向量的解题策略 ‎(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．‎ ‎(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．‎ ‎(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．　 ‎ ‎　　　　　　共线、共面向量定理的应用(师生共研)‎ ‎　如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．‎ ‎(1)向量是否与向量，共面？‎ ‎(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？‎ ‎【解】　(1)因为＝k，＝k，‎ 所以＝＋＋ ‎＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋ ‎＝k(＋)＋ ‎＝k＋ ‎＝－k＝－k(＋)‎ ‎＝(1－k)－k，‎ 所以由共面向量定理知向量与向量，共面．‎ ‎(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，‎ MN在平面ABB1A1内，当0