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- 2021-06-24 发布
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微专题 76 圆锥曲线中的存在性问题
一、基础知识
1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存
在,并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立;
否则即判定不存在
2、存在性问题常见要素的代数形式:未知要素用字母代替
(1)点:坐标
(2)直线:斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)
(3)曲线:含有未知参数的曲线标准方程
3、解决存在性问题的一些技巧:
(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要
条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
(2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作
为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去。
(3)核心变量的求法:
①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解
②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变
量的方程(组),运用方程思想求解。
二、典型例题:
例 1:已知椭圆 的离心率为 ,过右焦点 的直线 与 相交于
两点,当 的斜率为 时,坐标原点 到 的距离为 。
(1)求 的值
(2) 上是否存在点 ,使得当 绕 旋转到某一位置时,有 成立?若存在,
求出所有的 的坐标和 的方程,若不存在,说明理由
解:(1)
0 0,x y
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 3
3 F l C
,A B l 1 O l 2
2
,a b
C P l F OP OA OB
P l
3 : : 3 : 2 :13
ce a b ca
则 ,依题意可得: ,当 的斜率为 时
解得:
椭圆方程为:
(2)设 ,
当 斜率存在时,设
联立直线与椭圆方程: 消去 可得: ,整理可得:
因为 在椭圆上
当 时, ,
当 时, ,
当斜率不存在时,可知 , ,则 不在椭圆上
3 , 2a c b c ,0F c l 1
: 0l y x c x y c
2
22O l
cd 1c
3, 2a b
2 2
13 2
x y
0 0,P x y 1 1 2 2, , ,A x y B x y
l : 1l y k x
OP OA OB
0 1 2
0 1 2
x x x
y y y
2 2
1
2 3 6
y k x
x y
y 22 22 3 1 6x k x
2 2 2 23 2 6 3 6 0k x k x k
2
1 2 2
6
3 2
kx x k
3
1 2 1 2 2 2
6 42 23 2 3 2
k ky y k x x k kk k
2
2 2
6 4,3 2 3 2
k kP k k
P
2 22
2 2
6 42 3 63 2 3 2
k k
k k
2 24 2 2 2 2 272 48 6 3 2 24 3 2 6 3 2k k k k k k
2 224 6 3 2 2k k k
2k : 2 1l y x 3 2,2 2P
2k : 2 1l y x 3 2,2 2P
: 1l x 2 3 2 31, , 1,3 3A B
2,0P
综上所述: , 或 ,
例 2:过椭圆 的右焦点 的直线交椭圆于 两点, 为其左焦
点,已知 的周长为 8,椭圆的离心率为
(1)求椭圆 的方程
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ,且
?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由
解:(1)由 的周长可得:
椭圆
(2)假设满足条件的圆为 ,依题意,若切线与椭圆相交,则圆应含在椭圆内
若直线 斜率存在,设 ,
与圆相切
即
联立方程:
: 2 1l y x 3 2,2 2P
: 2 1l y x 3 2,2 2P
2 2
2 2: 1 0x y a ba b 2F ,A B 1F
1AF B
3
2
,P Q
OP OQ
1AF B 4 8 2a a
3 32
ce ca 2 2 2 1b a c
2
2: 14
x y
2 2 2x y r
0 1r
PQ :PQ y kx m 1 1 2 2, , ,P x y Q x y
PQ 2 2 2
2
1
1O l
md r m r k
k
0OP OQ OP OQ
1 2 1 2 0x x y y
2 24 4
y kx m
x y
2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m
2
1 2 1 22 2
8 4 4,4 1 4 1
km mx x x xk k
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m
2 2
1 2 1 2 1 2 1 21x x y y k x x km x x m
对任意的 均成立
将 代入可得:
存在符合条件的圆,其方程为:
当 斜率不存在时,可知切线 为
若 ,则
符合题意
若 ,同理可得也符合条件
综上所述,圆的方程为:
例 3:已知椭圆 的左右焦点分别为 ,短轴两个端点为 ,且
四边形 是边长为 2 的正方形
(1)求椭圆的方程
(2)若 分别是椭圆长轴的左,右端点,动点 满足
,连接 ,交椭圆于点 ,证明 是
定值
(3)在(2)的条件下,试问 轴上是否存在异于点 的定
点 ,使得以 为直径的圆恒过直线 的交点。若
存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由
解:(1) 四边形 是边长为 2 的正方形
2
2 2
2 2
4 4 814 1 4 1
m kmk km mk k
2 2
2
5 4 4
4 1
m k
k
2 25 4 4 0m k ,m k
2 2 2 1m r k 2 2 25 1 4 1 0r k k
2 25 4 1 0r k 2 4
5r
2 2 4
5x y
PQ PQ 2 55x
2: 55PQ x 2 5 2 5 2 5 2 5, , ,5 5 5 5P Q
0OP OQ 2: 55PQ x
2: 55PQ x
2 2 4
5x y
2 2
2 2 1 0x y a ba b 1 2,F F ,A B
1 2F AF B
,C D M
MD CD CM P OM OP
x C
Q MP ,DP MQ
Q
1 2F AF B
可得:
椭圆方程为
(2)由椭圆方程可得: ,由 可设 ,
,与椭圆方程联立可得:
由韦达定理可知:
代入直线 可得:
设
若以 为直径的圆恒过直线 的交点,则
恒成立,
存在定点
2b c 2 2 2 4a b c
2 2
14 2
x y
2,0 , 2,0C D MD CD 02,M y 1 1,P x y
0 00
2 2 4CM
y yk
0: 24
yCM y x
2 2
2
2 2 20
0 00
2 4 1 11 4 08 2 224
x y y x y x yyy x
2 20 0
1 12 2
0 0
1 4 2 82
81 8
C
y y
x x xy y
CM 0
1 2
0
8
8
yy y
2
0 0
2 2
0 0
2 8 8,8 8
y yP y y
2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 8 8 4 82, ,8 8 8 8
y y y yDP y y y y
,0Q m
02,MQ m y
MP ,DP MQ 0DP MQ
2
0 0
2 2
0 0
4 82 08 8
y ym yy y
2
0
2
0
4 08
y m
y 0m
0,0Q
例 4 :设 为椭圆 的右焦点,点 在椭圆 上,直线
与以原点为圆心,以椭圆 的长半轴长为半径的圆相切
(1)求椭圆 的方程
(2)过点 的直线 与椭圆相交于 两点,过点 且平行于 的直线与椭圆交于另一点
,问是否存在直线 ,使得四边形 的对角线互相平分?若存在,求出 的方程;若不
存在,说明理由
解:(1) 与圆相切
将 代入椭圆方程 可得:
椭圆方程为:
(2)由椭圆方程可得:
设直线 ,则
联立直线 与椭圆方程:
消去 可得:
同理:
联立直线 与椭圆方程:
消去 可得:
F
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b 31, 2P
E
0 :3 4 10 0l x y E
E
F l ,A B P AB
Q l PABQ l
0l
10 25O ld r 2a
31, 2P
2 2
2 14
x y
b 3b
2 2
14 3
x y
1,0F
: 1l y k x 3: 12PQ y k x
l
2 2
1
3 4 12
y k x
x y
y 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k
22 2 2 2
1 8 4 4 3 4 12 144 144k k k k
2
12 2
1 2 2 2
12 1
1 1 4 3 4 3
k
AB k x x k k k
PQ
2 2
31 2
3 4 12
y k x
x y
y 2 2 2 24 3 8 12 4 12 3 0k x k k x k k
因为四边形 的对角线互相平分
四边形 为平行四边形
解得:
存在直线 时,四边形 的对角线互相平分
例 5:椭圆 的左右焦点分别为 ,右顶点为 , 为椭圆
上任意一点,且 的最大值的取值范围是 ,其中
(1)求椭圆 的离心率 的取值范围
(2)设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点,顶点为焦点, 是双曲线 在第一象限上任意一
点,当 取得最小值时,试问是否存在常数 ,使得 恒成立?若存
在,求出 的值;若不存在,请说明理由
解:(1)设
由 可得: 代入可得:
22 2 2 2
2
18 12 4 4 12 3 4 3 144 4k k k k k k k
2
22 2
2 2
1144 41 14 3 4 3
k k
PQ k kk k
PABQ
PABQ
AB PQ
2
2
2
2 2
114412 1 414 3 4 3
k kk
kk k
3
4k
:3 4 3 0l x y PABQ
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 1 2,F F A P 1C
1 2PF PF 2 2,3c c
2 2c a b
1C e
2C 1C B 2C
e 0 1 1BAF BF A
1 2, , ,0 , ,0P x y F c F c
1 2, , ,PF c x y PF c x y
2 2 2
1 2PF PF x y c
2 2
2 2 1x y
a b
2
2 2 2
2
by b xa
(2)当 时,可得:
双曲线方程为 , ,设 ,
当 轴时,
因为
所以 ,下面证明 对任意 点均使得 成立
考虑
由双曲线方程 ,可得:
结论得证
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 21 b cPF PF x y c x b c x b ca a
,x a a 2
1 2 max
PF PF b
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
23 3
4
c ac b c c a c c
c a
21 1 1 2
4 2 2 2e e
1
2e 2 , 3a c b c
2 2
2 2 13
x y
c c 12 ,0 , ,0A c F c 0 0,B x y 0 00, 0x y
AB x 0 02 , 3x c y c
1
3tan 13
cBF A c 1 4BF A 1 2BAF
1 12BAF BF A
2 2 B 1 1BAF BF A
1
0 0
1 1
0 0
tan ,tan2AB BF
y yBAF k BF A kx c x c
0
0 01 0
1 2 22 2
1 0 00
0
2 22tantan 2 1 tan
1
y
y x cBF A x cBF A BF A x c yy
x c
2 2
2 2 13
x y
c c 2 2 2
0 03 3y x c
2 22 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 03 3 2 2 4 2 2x c y x c x c x cx c x c c x
0 0 0
1 1
0 0 0
2tan 2 tan2 2 2
y x c yBF A BAFx c c x c x
1 12BAF BF A
时, 恒成立
例 6:如图,椭圆 的离心率是 ,过点 的动直线 与椭圆
相交于 两点,当直线 平行于 轴时,直线 被椭圆 截得的线段长为
(1)求椭圆 的方程
(2)在平面直角坐标系 中,是否存在与点 不同的定点 ,使得对于任意直线 ,
恒成立?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由
解:(1)
椭圆方程为
由直线 被椭圆 截得的线段长为 及椭圆的对称性可得:
点 在椭圆上
椭圆方程为
(2)当 与 轴平行时,由对称性可得:
即
在 的中垂线上,即 位于 轴上,设
当 与 轴垂直时,则
可解得 或
2 1 1BAF BF A
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b 2
2 0,1P l
,A B l x l E 2 2
E
xOy P Q l
QA PA
QB PB Q
2
2
ce a : : 2 :1:1a b c
2 2
2 2 12
x y
b b
l E 2 2
2,1
2
2 2
2 1 1 22 bb b 2 4a
2 2
14 2
x y
l x PA PB
1QA PA
QB PB QA QB
Q AB Q y 00,Q y
l x 0, 2 , 0, 2A B
2 1, 2 1PA PB 0 02 , 2QA y QB y
0
0
2 2 1
2 12
yQA PA
QB PB y
0 1y 0 2y
不重合
下面判断 能否对任意直线均成立
若 直 线 的 斜 率 存 在 , 设 ,
联立方程可得:
由 可想到角平分线公式,即只需证明 平分
只需证明
①
因为 在直线 上, 代入①可得:
联立方程可得:
成立
,P Q 0 2y
0,2Q
0,2Q
l : 1l y kx 1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2
2 22 4 1 2 4 2 0
1
x y k x kx
y kx
QA PA
QB PB QP BQA
0QA QB QA QBk k k k
1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2
1 2
2 2,QA QB
y yk kx x
2 1 1 2 2 1 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
2 2 22 2
QA QB
x y x y x y x y x xy yk k x x x x x x
1 1 2 2, , ,A x y B x y 1y kx 1 1
2 2
1
1
y kx
y kx
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
QA QB
x kx x kx x x kx x x xk k x x x x
2 2
2 22 4 1 2 4 2 0
1
x y k x kx
y kx
1 2 1 22 2
4 2,1 2 1 2
kx x x xk k
2 2
2
2 42 1 2 1 2 02
1 2
QA QB
kk k kk k
k
0QA QBk k
平分 由角平分线公式可得:
例 7:椭圆 的上顶点为 , 是 上的一点,以 为直
径的圆经过椭圆 的右焦点
(1)求椭圆 的方程
(2)动直线 与椭圆 有且只有一个公共点,问:在 轴上是否存在两个定点,它们到直线
的距离之积等于 1?若存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由
解:由椭圆可知:
为直径的圆经过
由 在椭圆上,代入椭圆方程可得:
椭圆方程为
(2)假设存在 轴上两定点 ,
设直线
所以依题意:
①
QP BQA QA PA
QB PB
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b A 4 ,3 3
bP
C AP
C F
C
l C x l
0, , ,0A b F c
AP F FA FP
0FA FP 4, , ,3 3
bFA c b FP c
2 2
24 40 03 3 3 3
b bc c c c
4 ,3 3
bP
2
2
2 2
1 16 1 1 29 9
b aa b
2
2
2 2 2
4 0 13 3
2
bc c b c
b c a
2
2 12
x y
x 1 1 2 2,0 , ,0M M 1 2
:l y kx m
1 2
1 2
2 2
,
1 1M l M l
k m k md d
k k
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
22 2
111 1M l M l
k m k m k km md d kk k
因为直线 与椭圆相切, 联立方程:
由直线 与椭圆相切可知
化简可得: ,代入①可得:
,依题意可得:无论 为何值,等式均成立
所以存在两定点:
例 8:已知椭圆 的左右焦点分别为 ,点 是 上任意一点, 是坐标
原点, ,设点 的轨迹为
(1)求点 的轨迹 的方程
(2)若点 满足: ,其中 是 上的点,且直线 的
斜率之积等于 ,是否存在两定点,使得 为定值?若存在,求出定点 的坐
标;若不存在,请说明理由
(1)设点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,则
由椭圆方程可得:
且
代入到 可得:
l
2 2 2
2 2 2 1 4 2 2 0
2 2
y kx m k x kmx m
x y
l 2 2 24 4 2 1 2 2 0km k m
2 22 1m k
2 2
1 2 1 2 2 2 2
1 2 1 22
2 1 1 2 1 11
k km k k km k kk
2
1 2 1 21 0k km ,k m
1 2
1
1 2
2
1 2
1 10 1
1 21,0 , 1,0M M
2 2
1 : 4 1C x y 1 2,F F P 1C O
1 2OQ PF PF Q 2C
Q 2C
T 2OT MN OM ON ,M N 2C ,OM ON
1
4 TA TB ,A B
Q ,x y P 0 0,x y 2 2
0 04 1x y
1 2
3 3,0 , ,02 2F F
1 2OQ PF PF
1 0 0 2 0 0
3 3, , ,2 2PF x y PF x y
0 02 , 2Q x y
0
0
0
0
2 2
2
2
xxx x
y y yy
2 2
0 04 1x y
(2)设点 ,
设直线 的斜率分别为 ,由已知可得:
考虑
是 上的点
即 的轨迹方程为 ,由定义可知, 到椭圆 焦点的距离和为定值
为椭圆的焦点
所以存在定点
例 9:椭圆 的焦点到直线 的距离为 ,离心率为
,抛物线 的焦点与椭圆 的焦点重合,斜率为 的直线 过 的焦
点与 交于 ,与 交于
(1)求椭圆 及抛物线 的方程
(2)是否存在常数 ,使得 为常数?若存在,求出 的值;若不存在,请说明
理由
2
2 14
x y
,T x y 1 1 2 2, , ,M x y N x y
2OT MN OM ON
1 2 1 2 1 1 2 2, , 2 , ,x y x x y y x y x y
2 1
2 1
2
2
x x x
y y y
,OM ON ,OM ONk k 2 1
2 1
1
4OM ON
y yk k x x
1 2 1 24 0x x y y
2 22 2
2 1 2 14 2 4 2x y x x y y 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 24 4 4 4 16x y x y x x y y
,M N 2C
2 2
1 1
2 2
2 2
4 4
4 4
x y
x y
2 24 4 4 4 20x y
T
2 2
120 5
x y T
2 2
120 5
x y
,A B 15,0 , 15,0A B
,A B
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b 3 0x y 10
5
2 5
5 2: 2 0G y px p E k l G
E ,A B G ,C D
E G
1
AB CD
解:(1)设 的公共焦点为
(2)设直线 ,
与椭圆联立方程:
直线与抛物线联立方程:
是焦点弦
若 为常数,则
例 10:如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的离心率为 ,
直线 与 轴交于点 ,与椭圆 交于 两点,当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的右
,E G ,0F c
10 2510F l
cd c
2 5 55
ce aa 2 2 2 1b a c
2
2: 15
xE y
2 8y x
: 2l y k x 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y
2 2 2 2
2 2
2
5 1 20 20 5 0
5 5
y k x
k x k x k
x y
2 2
1 2 1 22 2
20 20 5,1 5 1 5
k kx x x xk k
2
22
1 2 1 2 2
2 5 1
1 4 1 5
k
AB k x x x x k
2 2 2 2
2
2
4 8 4 0
8
y k x
k x k x k
y x
2
3 4 2
4 8kx x k
CD
2
3 4 2
8 1
4
k
CD x x k
22 2 2 2
22 2 2
4 20 51 1 5 4 20 5
8 12 5 1 8 5 1 8 5 1
kk k k k
AB CD kk k k
1
AB CD
20 5 4 16 5
5
xOy
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 6
3
l x E C ,A B l x E C
焦点时,弦 的长为
(1)求椭圆 的方程
(2)是否存在点 ,使得 为定值?若存在,
请求出点 的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理
由
解:(1)依题意可得:
当 与 轴垂直且 为右焦点时, 为通径
(2)思路:本题若直接用用字母表示 坐标并表示 ,则所求式子较为复杂,
不易于计算定值与 的坐标。因为 要满足所有直线,所以考虑先利用特殊情况求出 点及
定值,再取判定(或证明)该点在其它直线中能否使得 为定值。
解:(2)假设存在点 ,设
若直线 与 轴重合,则
若直线 与 轴垂直,则 关于 轴对称
设 ,其中 ,代入椭圆方程可得:
AB 2 6
3
C
E 2 2
1 1
EA EB
E
6
3
ce a : : 3 :1: 2a b c
l x E AB
22 2 6
3
bAB a 6, 2a b
2 2
16 2
x y
, ,A E B ,EA EB
E E E
2 2
1 1
EA EB
E 0,0E x
AB x 6,0 , 6,0A B
0 06 , 6EA x EB x
2
0
2 2 2 2 22
00 0
1 1 1 1 2 12
66 6
x
EA EB xx x
AB x ,A B x
0 0, , ,A x y B x y 0y
2 2 2
0 01 26 2 3
x y xy
2
02 3
xEA EB
,可解得:
若存在点 ,则 。若 ,设
设 ,与椭圆 联立方程可得: ,消去 可得:
,同理:
代入 可得:
所以 为定值,定值为
若 ,同理可得 为定值
综上所述:存在点 ,使得 为定值
2 2 2 2
0 0
1 1 2 6
62 3
x xEA EB
2 22 2 20
0 0 02 22 00
2 12 6 2 6 6 6 666
x x x xxx
0 3x 2 2 2
0
1 1 6 26 xEA EB
E 3,0E 3,0E 1 1 2 2, , ,A x y B x y
: 3AB x my C
2 23 6
3
x y
x my
y
2 2 2 23 3 6 3 2 3 3 0my y m y my
1 2 1 22 2
2 3 3,3 3
my y y ym m
2 2 2 2 2 2 22 1 1 11 1
1 1 1 1
13 m y y m yEA x y
2 2 2
2
1 1,
1m yEB
22 2
1 2 1 21 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
21 1 1 1
1 1 1 1
y y y yy y
m y m y m y y m y yEA EB
1 2 1 22 2
2 3 3,3 3
my y y ym m
2 22
222 2 2
2 2 2 2 2
2
2 22
12 6 32 3 32 33 31 1 18 18 2
9 1 9 131 3 3
m mm
mm m m
m mEA EB m m m
2 2
1 1
EA EB
2
3,0E 2 2
1 1
EA EB
2
3,0E 2 2
1 1
EA EB
2
三、历年好题精选
1、已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 过点 ,
离心率为 ,过直线 上一点 引椭圆 的两条切线,切点分别是
(1)求椭圆 的方程
(2)若在椭圆 上的任一点 处的切线方程是 ,
求证:直线 恒过定点 ,并求出定点 的坐标
(3)是否存在实数 ,使得 恒成立?(点 为直线 恒过的定
点),若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由
2、已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,
是椭圆 上的一点
(1)求椭圆 的方程
(2)设 分别是椭圆 的左右顶点, 是椭圆 上异于 的两个动点,直线
的斜率之积为 ,设 与 的面积分别为 ,请问:是否存在常数
,使得 恒成立?若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由
3、已知椭圆 经过点 ,离心率为 ,左,右焦点分别为
和
(1)求椭圆 的方程
(2)设椭圆 与 轴负半轴交点为 ,过点 作斜率为 的直线 ,交椭圆
于 两点( 在 之间), 为 中点,并设直线 的斜率为
① 证明: 为定值
② 是否存在实数 ,使得 ?如果存在,求直线 的方程;如果不存在,请说明理
由
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b 33, 2P
1
2 : 4l x M E ,A B
E
2 2
2 2 1 0x y a ba b 0 0,N x y 0 0
2 2 1x x y y
a b
AB C C
AC BC AC BC C AB
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 2 4y x 31, 2D
C
C
,A B C ,P Q C ,A B
,AP AQ 1
4 APQ BPQ 1 2,S S
R 1 2S S
2 2
2 2 1 0x y a ba b 0, 3 1
2 1 ,0F c
2 ,0F c
C
C x A 4,0M 0k k l C
,B D B ,M D N BD ON 1k
1k k
k 1F N AD l
4、已知圆 ,定点 ,点 为圆 上的动点,点 在
上,点 在 上,且满足
(1)求点 的轨迹 的方程
(2)过点 作直线 ,与曲线 交于 两点, 是坐标原点,设 ,是
否存在这样的直线 ,使得四边形 的对角线相等(即 )?若存在,求出直
线 的方程;若不存在,试说明理由
5、(2014,福建)已知双曲线 的两条渐近线分别为
,
(1)求双曲线 的离心率
(2)如图, 为坐标原点,动直线 分别交直线 于 两点( 分别在第一、
四象限),且 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直
线 有且只有一个公共点的双曲线 ?若存在,求出双曲线
的方程;若不存在请说明理由
习题答案:
1、解析:(1)
2 2: 5 36M x y 5,0N P M Q NP
G MP 2 , 0NP NQ GQ NP
G C
2,0 l C ,A B O OS OA OB
l OASB OS AB
l
2 2
2 2: 1 0, 0x yE a ba b
1 : 2l y x 2 : 2l y x
E
O l 1 2,l l ,A B ,A B
OAB
l E
E
1 : : 2 : 3 :12
ce a b ca
椭圆过点
,再由 可解得:
椭圆方程为:
(2)设切点坐标为 ,直线上一点 ,依题意可得:
两条切线方程为:
,由切线均过 可得:
均在直线 上
因为两点唯一确定一条直线
,即过定点 ,即点 的坐标为
(3)
联立方程:
,不妨设
,使得 恒成立
33, 2P
2 2
3 3 14a b : : 2 : 3 :1a b c 2, 3a b
2 2
14 3
x y
1 1 2 2, , ,A x y B x y 4,M t
1 1
2 2
14 3
14 3
x x y y
x x y y
M
1
1
2
2
13
13
y tx
y tx
1 1 2 2, , ,A x y B x y 13
tx y
: 13
tAB x y 1,0 C 1,0
1 1AC BCAC BC AC BC AC BC AC BC
2 2
2 2
1 12 6 27 03
3 4 12
tyx t y ty
x y
1 2 1 22 2
6 27,12 12
ty y y yt t 1 20, 0y y
2 2
2 22 2
1 1 1 2 2 2
9 91 , 13 3
t tAC x y y BC x y y
2
2 12 1
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 3 1 1 3 3
9 9 9
y yy y
AC BC y y y y y yt t t
2
2 2 2
2 2
2
6 108
12 123 1 144 9 144 4
27 9 39 9
12
t
t t t
t t
t
4
3 AC BC AC BC
2、解析:(1)抛物线 的焦点为
依题意可知:
椭圆方程为:
(2)由(1)可得: ,若直线 斜率存在
设 ,
到直线 的距离 到直线 的距离
联立方程:
(*)
,代入到(*)可得:
或
当 时, ,交点与 重合,不符题意
,代入到 可得:
2 4y x 1,0 1c
2 22 2
2 2 2
1 9 1 4, 34
1
a ba b
a b c
2 2
14 3
x y
2,0 , 2,0A B PQ
:PQ y kx m 1 1 2 2, , ,P x y Q x y
A PQ 1 2
2
1
k md
k
B PQ 2 2
2
1
k md
k
1
1 1
2 2
2
1
22
1 2
2
PQ d k mS d
S d k mPQ d
2 2 2
2 2 3 4 8 4 12 0
3 4 12
y kx m k x kmx m
x y
2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
km mx x x xk k
1 2
1 2 1 2
1 2
1 4 2 2 02 2 4AP AQ
y yk k y y x xx x
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3 12
4 3
m ky y kx m kx m k x x km x x m k
2 2
1 2 1 2 1 2 2
16 16 42 2 2 4 4 3
k km mx x x x x x k
2 2
2 2
2
16 16 32 0 2 04 3
m km k m km kk
2m k m k
2m k : 2 2PQ y kx k k x A
m k 1
2
S
S
,即
3、解:(1)依题意可知: 可得:
椭圆方程为: ,代入 可得:
椭圆方程为:
(2)① 证明:设 ,线段 的中点
设直线 的方程为: ,联立方程:
化为:
由 解得: 且
② 假设存在实数 ,使得 ,则
即
因为 在椭圆上,所以 ,矛盾
所以不存在符合条件的直线
1
1 2
2
3 3 3kS S SS k
3
1
2
ce a : : 2 : 3 :1a b c
2 2
2 2 14 3
x y
c c 0, 3 1c
2 2
14 3
x y
1 1 2 2, , ,B x y D x y BD 0 0,N x y
l 4y k x
2 2
4
3 4 12
y k x
x y
2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k
0 2 1
4k
2 2
1 2 1 22 2
32 64 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
2
1 2
0 2
16
2 4 3
x x kx k
0 0 2
124 4 3
ky k x k
0
1
0
3
4
yk x k 1
3 3
4 4k k kk
k 1F N AD 1
1F N ADk k
1
20
2 2
0
2
12
43 4
161 1 413 4
F N
k
y kkk kx k
k
22
2 2
4
2 2AD
k xyk x x
1
2
2
2
44 11 4 2F N AD
k xkk k k x
2 2 2 2 2
2 2 24 16 4 1 8 2 2 8 2k x k k x k x k
D 2 2,2x
l
4、解析:(1)由 可得 为 的中点,且
为 的中垂线
点的轨迹是以 为焦点的椭圆,其半长轴长为 ,半焦距
轨迹方程为:
(2)因为
四边形 为平行四边形
若 ,则四边形 为矩形,即
① 若直线 的斜率不存在,则
联立方程: ,即
故 不符合要求
② 若直线 的斜率存在,设
由
,解得:
所以存在 或 ,使得四边形 的对角线相等
2 , 0NP NQ GQ NP Q PN GQ PN
GQ PN PG GN
6GN GM MP
G ,M N 3a 5c
2 2 2 4b a c
2 2
19 4
x y
OS OA OB
OASB
OS AB OASB 0OA OB
l : 2l x
2 2
22
2 519 4 3
xx
x y y
2 5 2 52, , 2,3 3A B
16 09OA OB : 2l x
l 1 1 2 2: 2 , , , ,l y k x A x y B x y
2 2 2 22 2
2
9 4 36 36 1 0
19 4
y k x
k x k x kx y
22
1 2 1 22 2
36 136 ,9 4 9 4
kkx x x xk k
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
202 2 2 4 9 4
ky y k x k x k x x x x k
OA OB 0OA OB
2 2
1 2 1 2 2 2
36 1 20 09 4 9 4
k kOA OB x x y y k k
3
2k
: 3 2 6 0l x y 3 2 6 0x y OASB
5、解析:(1)由双曲线方程可知,渐近线方程为
(2)若直线 不与 轴垂直,设
联立方程: ,同理可得
设直线 与 轴交于
即
由直线 与渐近线的交点 分别在第一、四象限可知:
由(1)可得双曲线方程为:
联立 与双曲线方程:
因为 与双曲线相切
整理可得:
所以 双曲线方程为:
存在一个总与 相切的双曲线 ,其方程为
by xa
2 2b b aa 2 2 2 25c a b a
5ce a
l x 1 1 2 2: , , , ,l y mx t A x y B x y
1
1
1 2
2 2
1 2
txx my t m
y x ty m
1
1
1 2
2 2
1 2
txx my t m
y x ty m
l x ,0C t
1 2
1
2OABS OC y y
2 21 2 2 8 4 1 42 1 2 1 2
t tt t mm m
l ,A B 1 1 12 2 2mm
21 4 0m 2 24 1 4t m
2 2
2 2 14
x y
a a
l
2 2 2 2
2 2 2 4 1 8 4 0
4 4
x my t m y mty t a
x y a
l
2 2 2 28 16 4 1 0mt t a m
2 2 2 2 2 24 4 1 4 0 1 4 4 0m a m a m a
2 4a
2 2
14 16
x y
l E
2 2
14 16
x y