2020届二轮复习离散型随机变量及其概率分布课件课件（62张）（全国通用） 62页

KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以理解离散型随机变量及其概率分布的概念为主，考查离散型随机变量、离散型随机变量的概率分布的求法 . 在高考中常以解答题的形式进行考查，难度多为中低档 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 为离散型随机变量 X 的 ___________ . 知识梳理 1 . 离散型随机变量的概率分布 (1) 随着试验结果变化而 ___________ 叫做随机变量，常用字母 X ， Y ， ξ ， η ， … 表示，所有取值可以 _________ 的随机变量叫做离散型随机变量 . ZHISHISHULI (2) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 ， x 2 ， … ， x i ， … ， x n ， X 取每一个值 x i ( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 的概率 P ( X ＝ x i ) ＝ p i ，则称表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … P n 变化的变量 一 一列出 概率分布表 (3) 离散型随机变量的概率分布的性质： ① ____________________ ； ② _________________________ . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 _____ _____ . p i ≥ 0 ， i ＝ 1,2 ， … ， n p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p i ＋ … ＋ p n ＝ 1 之和 概率 其中 0< p <1 ，则称离散型随机变量 X 服从 _________ . 2 . 两点分布 如果随机变量 X 的概率分布表为 两点分布 X 0 1 P 1 － p p 其中 l ＝ min( M ， n ) ，且 n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈ N * . 如果一个随机变量 X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 . 3. 超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M ( M ≤ N ) 件次品 . 从中任取 n ( n ≤ N ) 件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 即 P ( X ＝ r ) ＝ ________( r ＝ 0,1,2 ， … ， l ). X 0 1 … l P … 【概念方法微思考】 1. 随机变量和函数有何联系和区别？ 提示 　 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射； 联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域 . 2. 离散型随机变量 X 的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？ 提示　 代表的是 “ 事件 ” ，即事件是用一个反映结果的实数表示的 . 3. 如何判断所求离散型随机变量的概率分布是否正确？ 提示　 可用 p i ≥ 0 ， i ＝ 1,2 ， … ， n 及 p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1 检验 . 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 .( 　　 ) (2) 离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 .( 　　 ) (3) 某人射击时命中的概率为 0.5 ，此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布 . ( 　　 ) (4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布 . ( 　　 ) (5) 离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的 .( 　　 ) 基础自测 JICHUZICE 题组一　思考辨析 1 2 3 4 5 6 √ √ × √ √ 题组二　教材改编 1 2 3 4 5 6 2.[P48 练习 T3] 设随机变量 X 的概率分布如下： 则 p ＝ ___. 1 2 3 4 5 6 3.[P52T1] 有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数 X 的所有可能取值是 _______. 0,1,2,3 解析　 因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0,1,2,3. 题组三　易错自纠 4. 袋中有 3 个白球、 5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是 ___.( 填序号 ) ① 至少取到 1 个白球； ② 至多取到 1 个白球； ③ 取到白球的个数； ④ 取到的球的个数 . 1 2 3 4 5 6 解析　 ①② 表述的都是随机事件； ④ 是确定的值 2 ，并不随机； ③ 是随机变量，可能取值为 0,1,2. ③ 1 2 3 4 5 6 5. 随机变量 X 等可能取值 1,2,3 ， … ， n ，如果 P ( X <4) ＝ 0.3 ，则 n ＝ ____. 10 6. 一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P ( X ＝ 4) 的值为 ____. 1 2 3 4 5 6 解析　 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、 1 个新球， 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　离散型随机变量的概率分布的性质 自主演练 2. 设离散型随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求 2 X ＋ 1 的概率分布 . 解　 由概率分布的性质知， 0.2 ＋ 0.1 ＋ 0.1 ＋ 0.3 ＋ m ＝ 1 ，得 m ＝ 0.3. 列表为 X 0 1 2 3 4 2 X ＋ 1 1 3 5 7 9 从而 2 X ＋ 1 的概率分布为 2 X ＋ 1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 引申探究 1. 若题 2 中条件不变，求随机变量 η ＝ | X － 1| 的概率分布 . 解 　 由题 2 知 m ＝ 0.3 ，列表为 X 0 1 2 3 4 | X － 1| 1 0 1 2 3 ∴ P ( η ＝ 1) ＝ P ( X ＝ 0) ＋ P ( X ＝ 2) ＝ 0.2 ＋ 0.1 ＝ 0.3 ， P ( η ＝ 0) ＝ P ( X ＝ 1) ＝ 0.1 ， P ( η ＝ 2) ＝ P ( X ＝ 3) ＝ 0.3 ， P ( η ＝ 3) ＝ P ( X ＝ 4) ＝ 0.3. 故 η ＝ | X － 1| 的概率分布为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2. 若题 2 中条件不变，求随机变量 η ＝ X 2 的概率分布 . 解　 依题意知 η 的值为 0,1,4,9,16. 列表为 X 0 1 2 3 4 X 2 0 1 4 9 16 从而 η ＝ X 2 的概率分布为 η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 思维升华 (1) 利用概率分布中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 . (2) 求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 . 题型二　离散型随机变量的概率分布的求法 多维探究 命题点 1 　与排列、组合有关的概率分布的求法 例 1 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 . 现有 6 名男志愿者 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 和 4 名女志愿者 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 . (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的概率； 解　 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的事件为 M ， (2) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的概率分布 . 解　 由题意知， X 可取的值为 0,1,2,3,4 ，则 因此 X 的概率分布为 命题点 2 　与互斥事件有关的概率分布的求法 例 2 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 . (1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； 解　 记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A ， (2) 已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 ( 单位：元 ) ，求 X 的概率分布 . 解　 X 的可能取值为 200,300,400. 故 X 的概率分布为 命题点 3 　与独立事件 ( 或独立重复试验 ) 有关的概率分布的求法 例 3 (2018· 苏州期初 ) 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 . 每次游戏结束后将球放回原箱 . (1) 求在一次游戏中摸出 3 个白球的概率； 解 　 记 “ 在一次游戏中摸出 3 个白球 ” 为事件 A ， (2) 在两次游戏中，记获奖次数为 X ，求 X 的概率分布 . 解 　 X 的所有可能取值为 0,1,2 ， 记 “ 在一次游戏中摸出 2 个白球 ” 为事件 B ， X 的概率分布为 思维升华 求离散型随机变量 X 的概率分布的步骤 (1) 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2) 求 X 取每个值的概率； (3) 写出 X 的概率分布 . 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 . 跟踪训练 1 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i 次得到的点数为 a i ，若存在正整数 k ，使 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a k ＝ 6 ，则称 k 为你的幸运数字 . (1) 求你的幸运数字为 3 的概率； 解　 设 “ 连续抛掷 3 次骰子，和为 6 ” 为事件 A ，则它包含事件 A 1 ， A 2 ， A 3 ，其中 A 1 ：三次恰好均为 2 ； A 2 ：三次中恰好为 1,2,3 各一次； A 3 ：三次中有两次均为 1 ，一次为 4. A 1 ， A 2 ， A 3 为互斥事件，则 (2) 若 k ＝ 1 ，则你的得分为 6 分；若 k ＝ 2 ，则你的得分为 4 分；若 k ＝ 3 ，则你的得分为 2 分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记 0 分，求得分 ξ 的概率分布 . 解　 由已知得 ξ 的可能取值为 6,4,2,0 ， 故 ξ 的概率分布为 题型三　超几何分布 师生共研 例 4 某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语， 2 人只会英语， 3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问 . 求： (1) 在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； 解　 设事件 A ：选派的 3 人中恰有 2 人会法语， (2) 在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的概率分布 . 解　 由题意知， X 服从超几何分布， X 的可能取值为 0,1,2,3 ， ∴ X 的概率分布为 思维升华 (1) 超几何分布的两个特点 ① 超几何分布是不放回抽样问题； ② 随机变量为抽到的某类个体的个数 . (2) 超几何分布的应用条件 ① 两类不同的物品 ( 或人、事 ) ； ② 已知各类对象的个数； ③ 从中抽取若干个个体 . 跟踪训练 2 PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的可入肺颗粒物 . 根据现行国家标准 GB3095 － 2012 ， PM2.5 日均值在 35 微克 / 立方米以下空气质量为一级；在 35 微克 / 立方米～ 75 微克 / 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 / 立方米以上空气质量为超标 . 从某自然保护区 2017 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5 日均值 ( 微克 / 立方米 ) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85] 频数 3 1 1 1 1 3 解　 记 “ 从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一级 ” 为事件 A ， (1) 从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2) 从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 ξ 的概率分布 . 解　 由条件知， ξ 服从超几何分布，其中 N ＝ 10 ， M ＝ 3 ， n ＝ 3 ，且随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 故 ξ 的概率分布为 3 课时作业 PART THREE 1. 某射手射击所得环数 X 的概率分布为 基础保分练 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手 “ 射击一次命中环数大于 7 ” 的概率为 _____. 0.79 解析　 根据 X 的概率分布知，所求概率为 0.28 ＋ 0.29 ＋ 0.22 ＝ 0.79. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 ξ 表示所选 3 人中 女生的人数，则 P ( ξ ≤ 1) ＝ __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 设 X 是一个离散型随机变量，其概率分布为 X － 1 0 1 P 2 － 3 q q 2 则 q ＝ _______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 设随机变量 ξ 的概率分布为 P ( ξ ＝ k ) ＝ ( k ＝ 1,2,3) ，则 m 的值为 ____. 解析　 由概率分布的性质得 P ( ξ ＝ 1) ＋ P ( ξ ＝ 2) ＋ P ( ξ ＝ 3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2018· 江苏省常州市田家炳高级中学期末 ) 袋中有 2 个白球， 1 个红球，这些球除颜色外完全相同 . 现从袋中往外取球，每次任取 1 个记下颜色后放回，直到红 球出现 2 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P ( X ＝ 4) ＝ ____. 解析　 由题意可知最后一次取到的是红球，前 3 次有 1 次取到红球， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 某班级在 2018 年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有 6 名选手依次演 讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为 ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 口袋中有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5 ，从中任取 3 只球，以 X 表示取出的球的最大号码，则 X 的概率分布为 ________. 答案　 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 X 的取值为 3,4,5. 所以 X 的概率分布为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 袋中有 4 只红球， 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 ξ ，则 P ( ξ ≤ 6) ＝ ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 随机变量 X 的概率分布如下： X － 1 0 1 P a b c 其中 a ， b ， c 成等差数列，则 P (| X | ＝ 1) ＝ __ ，公差 d 的取值范围是 ________. 解析　 ∵ a ， b ， c 成等差数列， ∴ 2 b ＝ a ＋ c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2018· 南京模拟 ) 已知袋中装有大小相同的 2 个白球， 2 个红球和 1 个黄球 . 一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出 3 个 球，将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中 . 当出现第 n 局得 n ( n ∈ N * ) 分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束 . (1) 求在一局游戏中得 3 分的概率； 解 　 设在一局游戏中得 3 分为事件 A ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 求游戏结束时局数 X 的概率分布 . ∴ X 的概率分布为 解 　 由题意随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 . 现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名 . 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . (1) 设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会 ” ，求事件 A 发生的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的概率分布 . 解 　 随机变量 X 服从超几何分布， X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 所以随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 12. 若随机变量 η 的概率分布如下： η － 2 － 1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P ( η < x ) ＝ 0.8 时，实数 x 的取值范围是 _____. (1,2] 解析　 由离散型随机变量的概率分布知 P ( η < － 1) ＝ 0.1 ， P ( η <0) ＝ 0.3 ， P ( η <1) ＝ 0.5 ， P ( η <2) ＝ 0.8 ， 则当 P ( η < x ) ＝ 0.8 时，实数 x 的取值范围是 1< x ≤ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 一只口袋中有 n ( n ∈ N * ) 个白球， 3 个红球 . 依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球 . 记 取球的次数为 X ，若 ，求： (1) n 的值； 化简得 7 n 2 － 55 n ＋ 42 ＝ 0 ，即 (7 n － 6)( n － 7) ＝ 0 ， 因为 n ∈ N * ，所以 n ＝ 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) X 的概率分布 . 所以 X 的概率分布为 解　 由题意知 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了 n 位校友 ( n >8 ，且 n ∈ N * ) ，其中女校友 6 位， 组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出的 2 位校友是一男一女，则称为 “ 最佳组合 ”. (1) 若随机选出的 2 位校友代表为 “ 最佳组合 ” 的概率不小于 ，求 n 的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 由题意可知，所选 2 人为 “ 最佳组合 ” 的概率为 化简得 n 2 － 25 n ＋ 144 ≤ 0 ，解得 9 ≤ n ≤ 16 ， 故 n 的最大值为 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 当 n ＝ 12 时，设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 X ，求随机变量 X 的概率分布 . 解　 由题意可得， X 的可能取值为 0,1,2. 所以 X 的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15. 为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次 “ 爱心送考 ” ， 该城市某出租车公司共 200 名司机，他们进行 “ 爱心送考 ” 的次数统计得到：送考一次的 20 人，送考 2 次的 100 人，送考 3 次的 80 人，从 200 名司机中任选两人，求这两人送考次数相等的概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 为了研究学生的数学核心素养与抽象 ( 能力指标 x ) 、推理 ( 能力指标 y ) 、建模 ( 能力指标 z ) 的相关性，并将它们各自量化为 1,2,3 三个等级，再用综合指标 w ＝ x ＋ y ＋ z 的值评定学生的数学核心素养：若 w ≥ 7 ，则数学核心素养为一级；若 5 ≤ w ≤ 6 ，则数学核心素养为二级；若 3 ≤ w ≤ 4 ，则数学核心素养为三级 . 为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下结果： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学生编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ( x ， y ， z ) (2,2,3) (3,2,2) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2) 学生编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 ( x ， y ， z ) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2) 从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 b ，记随机变量 X ＝ a － b ，求随机变量 X 的概率分布 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16