高考数学人教A版（理）一轮复习：第五篇 第3讲 平面向量的数量积 6页

第3讲 平面向量的数量积 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为 (　　)．‎ A．－ B. C．2 D．6‎ 解析　由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6.‎ 答案　D ‎2．(2013·东北三校联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是 (　　)．‎ A．－4 B．4 C．－2 D．2‎ 解析　设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝＝－，‎ ‎∴|a|cos θ＝6×＝－4.‎ 答案　A ‎3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ (　　)．‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ 解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.‎ 答案　D ‎4．(2012·天津)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ等于 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.]‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 解析　以，为基向量，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.‎ 答案　1　1‎ ‎6．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．‎ 解析　以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则＝(，0)，＝(，1)，‎ 设F(t,2)，则＝(t,2)．‎ ‎∵·＝t＝，∴t＝1，‎ 所以·＝(，1)·(1－，2)＝.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.‎ ‎(1)求a，b夹角的大小；‎ ‎(2)求|3a＋b|的值．‎ 解　(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，‎ ‎∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，‎ 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.‎ ‎(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，‎ ‎∴|3a＋b|＝.‎ ‎8．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ 解　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则 ＋＝(2,6)，－＝(4,4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线长分别为4，2.‎ ‎(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．‎ 由(－t)·＝0，‎ 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2013·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是 (　　)．‎ A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)‎ 解析　设P点坐标为(x,0)，‎ 则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．‎ ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)‎ ‎＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.‎ 当x＝3时，·有最小值1.‎ ‎∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.‎ 答案　C ‎2．(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝ (　　)．‎ A. B．1 C. D. 解析　由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，从而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2‎ θ，因为θ∈，所以