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- 2021-06-24 发布
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第七节 函数的图象
[考纲传真] 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.利用描点法作函数的图象
方法步骤:(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等);
(4)描点连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
②y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
③y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
④y=ax(a>0且a≠1)的图象y=logax(a>0且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
①y=f(x)的图象
y=f(ax)的图象;
②y=f(x)的图象
y=af(x)的图象.
(4)翻转变换
①y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;
②y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.( )
(2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.( )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是( )
① ② ③ ④
图271
A.甲是图①,乙是图② B.甲是图①,乙是图④
C.甲是图③,乙是图② D.甲是图③,乙是图④
B [设甲骑车速度为V甲骑,甲跑步速度为V甲跑,乙骑车速度为V乙骑,乙跑步速度为V乙跑,依题意V甲骑>V乙骑>V乙跑>V甲跑,故选B.]
3.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( )
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x+1 D.e-x-1
D [依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.]
4.(2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )
D [∵y=sin(-x)2=sin x2,
∴函数为偶函数,可排除A项和C项;当x=时,sin x2=sin ≠1,排除B项,故选D.]
5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________.
【导学号:01772055】
(0,+∞) [在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.]
作函数的图象
作出下列函数的图象:
(1)y=|x|;(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=;(4)y=x2-2|x|-1.
[解] (1)先作出y=x的图象,保留y=x图象中x≥0的部分,再作出y=x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图象,如图①实线部分.3分
① ②
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.6分
(3)∵y=2+,故函数图象可由y=图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图③.9分
③ ④
(4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图④.12分
[规律方法] 画函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出;
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.
易错警示:注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
[变式训练1] 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg x|;(2)y=sin|x|.
[解] (1)∵y=|lg x|=
∴函数y=|lg x|的图象,如图①.6分
(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图②.12分
识图与辨图
(1)(2016·全国卷Ⅰ)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )
图272
(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图272,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
A B C D
(1)D (2)B [(1)∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B.设g(x)=2x2-ex,则g′(x)=4x-ex.又g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
(2)当点P沿着边BC运动,即0≤x≤时,
在Rt△POB中,|PB|=|OB|tan∠POB=tan x,
在Rt△PAB中,|PA|==,
则f(x)=|PA|+|PB|=+tan x,它不是关于x的一次函数,图象不是线段,故排除A和C;
当点P与点C重合,即x=时,由上得f=+tan=+1,又当点P
与边CD的中点重合,即x=时,△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形,故f=|PA|+|PB|=+=2,知f<f,故又可排除D.综上,选B.]
[规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
图273
[变式训练2] (1)已知函数f(x)的图象如图273所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=-1
D.f(x)=x-
(2)(2016·河南平顶山二模)函数y=a+sin bx(b>0且b≠1)的图象如图274所示,那么函数y=logb(x-a)的图象可能是( )
图274
(1)A (2)C [(1)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A.
(2)由题图可得a>1,且最小正周期T=<π,所以b>2,则y=logb(x-a)是增函数,排除A和B;当x=2时,y=logb(2-a)<0,排除D,故选C.]
函数图象的应用
☞角度1 研究函数的性质
已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
C [将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.]
☞角度2 确定函数零点的个数
已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________.
5 [方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图象,
由图象知零点的个数为5.]
☞角度3 求参数的值或取值范围
(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,1)
C. D.(0,+∞)
B [根据题意可知,“伙伴点组”的点满足:
都在函数图象上,且关于坐标原点对称.
可作出函数y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,
使它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.
当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y′=,
即km-1=ln m,k=,解得m=1,k=1,
可得函数y=ln x(x>0)的图象过(0,-1)点的切线的斜率为1,
结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点.故选B.]
☞角度4 求不等式的解集
函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图275所示,那么不等式<0的解集为________.
图275
∪ [在上,y=cos x>0,在上,y=cos x<0.
由f(x)的图象知在上<0,
因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,
所以y=为偶函数,
所以<0的解集为∪.]
[规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法
(1)研究函数性质:
①
根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.
(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
[思想与方法]
1.识图:对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图:借助函数图象,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象,还可以判断方程f(x)=g(x)的解的个数,求不等式的解集等.
[易错与防范]
1.图象变换是针对自变量x而言的,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位,先作如下变形f(-2x+1)=f,可避免出错.
2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.
3.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用.