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- 2021-06-24 发布
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[基础题组练]
1.若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )
A.至多为1 B.2
C.1 D.0
解析:选B.由题意知,>2,即<2,
所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.
2.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A.- B.-
C.- D.-
解析:选A.设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则4x+9y=144,4x+9y=144,两式相减得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)·(y1-y2)=0,又x1+x2=6,y1+y2=4,=k,代入解得k=-.
3.已知直线y=-x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段AB的长是( )
A. B.
C. D.2
解析:选B.由条件知c=1,e==,所以a=,b=1,椭圆方程为+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),,所以|AB|=.
4.(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且=2,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则又=2,
所以(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),所以-y1=2y2,可得所以=,所以e=,故选B.
5.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:选D.因为(+)·=(+)·
=·=0,
所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2,
所以S△F1PF2=mn=1.
6.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.
解析:由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).
由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得
x1+x2=,x1x2=0.
则|AB|=
=
= =.
答案:
7.直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为________.
解析:由点差法可求出k1=-·,
所以k1·=-,即k1k2=-.
答案:-
8.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.
解析:由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),
kOP=-,kAB=-,由于OP∥AB,
所以-=-,y0=,
把P代入椭圆方程得+=1,
所以=,所以e==.
答案:
9.已知椭圆E的一个顶点为A(0,1),焦点在x轴上,若椭圆的右焦点到直线x-y+2=0的距离是3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,求直线l的方程.
解:(1)由题意得b=1.右焦点(c,0)(c>0)到直线x-y+2=0的距离d==3,所以c=.所以a==,所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|=2,此时直线l的方程为x=0.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,联立得(1+3k2)x2+6kx=0,所以xA=0,xB=,
所以|AB|=,|AB|2=.
令t=1+3k2,t∈(1,+∞),则|AB|2=4×,所以当=,即k2=1,得k=±1时,|AB|2取得最大值为,即|AB|的最大值为,此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
因为2<,所以当弦AB的长度最大时,直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
10.(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆C上一点,满足3|PF1|=5|PF2|且cos∠F1PF2=.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,
点Q,若|AQ|=|BQ|,求k的取值范围.
解:(1)由题意设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则3r1=5r2,又r1+r2=2a,所以r1=a,r2=a.
在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2===,
解得a=2,因为c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)联立方程,得,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且Δ=48(3+4k2-m2)>0,①
设AB的中点为M(x0,y0),连接QM,则x0==,y0=kx0+m=,
因为|AQ|=|BQ|,所以AB⊥QM,又Q,M为AB的中点,所以k≠0,直线QM
的斜率存在,所以k·kQM=k·=-1,解得m=-,②
把②代入①得3+4k2>,整理得16k4+8k2-3>0,即(4k2-1)(4k2+3)>0,解得k>或k<-,故k的取值范围为∪.
[综合题组练]
1.(一题多解)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析:选C.法一:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,得两式相减得=-·.因为kAB==1,且x1+x2=-8,y1+y2=2,所以=,e===,故选C.
法二:将直线方程x-y+5=0代入+=1(a>b>0),得(a2+b2)x2+10a2x+25a2-a2b2=0,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,又由中点坐标公式知x1+x2=-8,所以=8,解得a=2b,又c==b,所以e==.故选C.
2.(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线与椭圆交于P,Q两点,PQ⊥PF1,且|QF1|=2|PF1|,则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为( )
A.2- B.-1
C.+1 D.2+
解析:选D.法一:可设|PF1|=t,则|QF1|=2|PF1|=2t,
由椭圆的定义可得|PF2|=2a-t,|QF2|=2a-2t,
|PQ|=4a-3t,
则|PQ|2+|PF1|2=|QF1|2,即(4a-3t)2+t2=4t2,
即有4a-3t=t,解得t=a,
则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为
===2+.故选D.
法二:同法一得出t=a,
则==
==
=
==2+.
故选D.
3.(一题多解)(2020·安徽蚌埠一模)已知F1,F2是椭圆+=1的左,右焦点,点A的坐标为,则∠F1AF2的平分线所在直线的斜率为________.
解析:法一:因为F1,F2是椭圆+=1的左,右焦点,
所以F1(-1,0),F2(1,0),又A,
所以AF1⊥x轴,
所以|AF1|=,则|AF2|=,所以点F2(1,0)关于l(∠F1AF2的平分线所在直线)对称的点F′2在线段AF1的延长线上,
又|AF′2|=|AF2|=,所以|F′2F1|=1,
所以F′2(-1,-1),线段F′2F2的中点坐标为,
所以所求直线的斜率为=-2.
法二:如图.
设∠F1AF2的平分线交x轴于点N,
∠F1AN=β,∠ANF2=α.
因为tan 2β====,
所以tan β=或-2(舍).
在Rt△AF1N中,tan β=,即=,
所以|F1N|=,
所以kl=tan α=tan(π-∠ANF1)=-tan∠ANF1=-=-=-2.
答案:-2
4.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则椭圆的离心率的取值范围为________.
解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b20即e2+e-1>0,e>或e<,又0b>0)的离心率e=,原点到过点A(0,-b)和B(a,0)的直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设F1,F2为椭圆的左、右焦点,过F2作直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF1内切圆半径r的最大值.
解:(1)直线AB的方程为+=1,
即bx-ay-ab=0.
原点到直线AB的距离为=,
即3a2+3b2=4a2b2,①
由e==,得c2=a2,②
又a2=b2+c2,③
所以联立①②③可得a2=3,b2=1,c2=2.
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)由(1)得F1(-,0),F2(,0),
设P(x1,y1),Q(x2,y2).
易知直线PQ的斜率不为0,故设其方程为x=ky+,
联立直线与椭圆的方程得
(k2+3)y2+2ky-1=0.
故④
而S△PQF1=S△F1F2P+S△F1F2Q=|F1F2||y1-y2|
= ,⑤
将④代入⑤,得S△PQF1==.
又S△PQF1=(|PF1|+|F1Q|+|PQ|)·r=2a·r=2r,
所以=2r,
故r==≤,
当且仅当=,即k=±1时取等号.
故△PQF1内切圆半径r的最大值为.