山东省烟台市福山第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 18页

福山第一中学2018-2019学年第二学期期末考试 高二数学试卷 一、选择题 ‎1.双曲线和有（ ）‎ A. 相同焦点 B. 相同渐近线 C. 相同顶点 D. 相等的离心率 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于已知的两条双曲线，有，则半焦距相等，且焦点都在轴上，由此可得出结论.‎ ‎【详解】解：对于已知的两条双曲线，有，‎ 半焦距相等，且焦点都在轴上，‎ 它们具有相同焦点.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，属于基础题.‎ ‎2.已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题知，，所以=‎ ‎=，解得，故选A.‎ 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.‎ ‎3.平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.‎ ‎【详解】解：由可知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以动点的轨迹方程是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.‎ ‎4.已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.‎ ‎【详解】椭圆的方程，双曲线的方程为，‎ 则椭圆离心率，双曲线的离心率，‎ 由和的离心率之积为，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以渐近线方程为，‎ 化简可得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.‎ ‎5.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C：上，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆方程为：.‎ 故选D.‎ 考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.‎ ‎6.在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.‎ 考点：直线与椭圆的位置关系.‎ ‎7.已知椭圆 两个焦点为 ,且,弦过点 ,则的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=‎4a，计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，‎ a==，‎ 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=‎2a，‎ 即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|‎ ‎=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=‎4a=4．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题．‎ ‎8.已知点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点，的中点在轴上，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得，设P，且，所以=‎ ‎，选A.‎ ‎【点睛】‎ 若，是椭圆的左、右焦点，且，则点P的坐标为．‎ ‎9.设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.‎ ‎【详解】圆的圆心为M(0,6)，半径为，‎ 设，则， 即，‎ ‎∴当 时，，故的最大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.‎ ‎10.设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线为，到一条渐近线的距离，则，在中，，则，设的倾斜角为，则，，在中，，在中，，而，代入化简可得到，因此离心率 考点：双曲线的离心率；‎ ‎11.由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.‎ ‎【详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，‎ 可得是以为底的等腰三角形，‎ 是直角三角形，‎ ‎，.‎ 又和分别是椭圆和 的半焦距，‎ ‎，即.‎ ‎，.‎ 即，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.‎ ‎12.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝‎2a(其中‎2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F‎1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ 二、填空题 ‎13.设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在中，，，设，则.‎ 考点：椭圆的定义.‎ ‎【易错点晴】本题的考点是椭圆定义的考查，即的等式关系和几何意义.由给定的条件可知三角形不仅是直角三角形，也可以得到其中一个锐角，由此可用来表示直角三角形的三个边，再根据椭圆的定义便可建立等式关系，求得椭圆的离心率.椭圆中研究的关系不仅选择填空会考有时解答题也会出，它是研究椭圆基础.‎ ‎14.已知的顶点，分别为双曲线左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得,，再利用正弦定理进行求解即可.‎ ‎【详解】解：由题意得,，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，结合了正弦定理的应用，属于中档题.‎ ‎15.已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，．则 的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，再利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】解：由渐近线方程为可知，‎ ‎，,‎ ‎，，‎ ‎.‎ 第一次取等号的条件为，即，‎ 第二次取等号条件为，即.‎ ‎ 的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎16.已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴‎ ‎，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为．‎ 考点：椭圆的定义，三角形的性质．‎ 三、解答题 ‎17.已知、分别是椭圆左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为，若．‎ 求此椭圆的方程;‎ 直线与椭圆交于，两点，若弦的中点为求直线的方程．‎ ‎【答案】；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件得，由此求出椭圆方程；‎ 设，，再结合弦的中点为，求直线的方程.‎ ‎【详解】由题意得，所以，‎ 所以．‎ 设，，‎ ‎，两点在椭圆上， ‎ ‎，，‎ 弦的中点为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程和直线方程的求法，属于中档题.‎ ‎18.已知椭圆左右焦点分别为，，‎ 若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；‎ 若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．‎ ‎【答案】，焦点，；证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点到到，的距离之和求得，再把点代入椭圆方程求得，则可得，进而求得椭圆的方程和焦点坐标；‎ 设点的坐标为，根据点的对称性求得的坐标，代入椭圆方程设出点的坐标，利用斜率公式分别表示出和的斜率，求得二者乘积的表达式，把式子代入结果为常数，原式得证.‎ ‎【详解】解：椭圆的焦点在轴上，由椭圆上点到到，的距离之和为，‎ 得，即.‎ 点在椭圆上，‎ ‎ ，得，则.‎ 椭圆的方程为，焦点为，.‎ 设点，则点，其中.‎ 设点，由，，‎ 可得，‎ 将和代入，‎ 得.‎ 故与之积为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆得标准方程与性质，直线斜率求法，属于中档题.‎ ‎19.已知圆圆心为，定点，动点在圆上，线段的垂直平分线交线段于点．‎ 求动点的轨迹的方程；‎ 若点是曲线上一点，且，求的面积．‎ ‎【答案】；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，故，即点轨迹是以、为焦点的椭圆，根据，，得出椭圆方程；‎ 由知，又因为，得出，进而求出，算出面积即可.‎ 详解】由已知，故 点轨迹是以、为焦点的椭圆.‎ 设其方程为 则即，‎ 又，故．‎ 点的轨迹的方程为：． ‎ 由知.‎ 又 ‎.‎ 有，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆得方程求法，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.‎ ‎20.如图所示，椭圆，、，为椭圆的左、右顶点．‎ 设为椭圆的左焦点，证明:当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值．‎ 若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆的标准方程．‎ 若直线与中所述椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】见解析；；见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标为，令，由点在椭圆上，得，‎ 则，代入式子，利用二次函数的性质和的取值范围，求出函数的最值以及对应的的取值，即可求证；‎ 由已知与，得， ，解得，，再由求出，进而求出椭圆的标准方程；‎ 假设存在满足条件的直线，设，，联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一元二次方程，再利用韦达定理列出方程组，根据题意得,代入列出关于的方程，进行化简求解.‎ ‎【详解】设点的坐标为，令．‎ 由点在椭圆上，得，‎ 则，代入，‎ 得，‎ 其对称轴方程为，‎ 由题意，知恒成立，‎ 在区间上单调递增．‎ 当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值．‎ 由已知与，得， ，‎ ‎，．．‎ 椭圆的标准方程为．‎ 如图所示，设，，‎ 联立，得，‎ 则 则 椭圆的右顶点为，，，‎ ‎，‎ 即．‎ ‎．‎ ‎，‎ 解得，，且均满足．‎ 当时，l的方程为直线过定点，与已知矛盾．‎ 当时，l的方程为直线过定点，满足题意，‎ 直线l过定点，定点坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，属于难题.‎