内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 16页

集宁一中2019-2020学年第一学期第一次月考高二年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知等差数列前9项的和为27，，则 A. 100 B. ‎99 ‎C. 98 D. 97‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，所以故选C.‎ ‎【考点】等差数列及其运算 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎2.设是等差数列的前项和,若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，选A.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 31 B. ‎32 ‎C. 63 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和的性质，得到，，成等比数列，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为为等比数列的前项和，‎ 所以，，成等比数列，‎ 所以，‎ 即，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查等比数列前项和的计算，熟记前项和的性质即可，属于常考题型.‎ ‎4.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知等比数列满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知为等比数列,,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得的值，进而由和可得解.‎ ‎【详解】或.‎ 由等比数列性质可知 或 故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.‎ ‎7.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 得到的偶函数解析式为，显然 ‎【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.‎ ‎8.设等差数列的前n项和为，若，则(　　)‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由又，可得公差，从而可得结果.‎ ‎【详解】是等差数列 又，‎ ‎∴公差，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎9.在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋‎ ‎，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.‎ ‎【详解】设 ，‎ ‎ ‎ 所以 所以 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎10.已知等差数列的前项和为，且，数列满足，则数列的前9项和为 ( )‎ A. 20 B. ‎80 ‎C. 166 D. 180‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=4,S4=16，‎ 可得,解得d=2,a1=1,an=2n=−1，bn=an+an+1=4n.‎ 数列{bn}的前9和.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11.已知函数，若关于的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数化简整理，得到，根据关于的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，确定能取的值，再由题意列出不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由得，‎ 因为，所以，‎ 又关于的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，‎ 所以应取，‎ 因此，，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.设等差数列的前n项和为，且满足，，则中最大项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：是单调递减数列，时，时，所以最大 考点：1．等差数列性质；2．等差数列求和公式 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13.设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意得，∴，解得．‎ 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.已知为锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用锐角三角形的性质、诱导公式和三角函数的单调性比较与的大小关系即可.‎ ‎【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故，，‎ ‎，，‎ 所以.‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，锐角三角形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15.设是数列的前项和，且，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .‎ ‎【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a‎1a2…an的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ 考点：等比数列及其应用 三、解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设等差数列满足，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值 ‎【答案】an=11-2n,n=5时，Sn取得最大值 ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．‎ 考点：等差数列 点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．‎ ‎18.数列满足，，．‎ ‎（I）设，证明是等差数列；‎ ‎（II）求的通项公式．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即可证得；‎ ‎（2）由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1，进而利用累加求通项公式即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎（2）解　由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.‎ 于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.‎ 又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,经检验，此式对n=1亦成立，‎ 所以，{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.‎ 点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）当时，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将函数解析式化简整理，得到，即可求出最小正周期；‎ ‎（2）先由，得到，再由，即可确定结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以最小正周期 ‎（3）因为，所以，‎ 又因为，即，‎ 所以或，则或.‎ ‎【点睛】本题主要考查求三角函数最小正周期，以及由三角函数值求角的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.‎ ‎20.等比数列的各项均为正数，且.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 ‎，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q,由＝‎9a2a6得＝9,所以q2＝．‎ 由条件可知q＞0,故q＝．由‎2a1＋‎3a2＝1得‎2a1＋‎3a1q＝1,所以a1＝．‎ 故数列{an}的通项公式为an＝．‎ ‎（Ⅱ）bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．‎ 故．‎ 所以数列的前n项和为 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎21.已知是各项均为正数等比数列，是等差数列，且，，.‎ ‎(1)求和的通项公式；‎ ‎(2)设，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出数列的公比和数列的公差，由题意列出关于的方程组，求解方程组得到的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得，然后利用错位相减法注得数列的前项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意,由已知,有消去d得解得,所以的通项公式为,的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有,设的前n项和为,则 两式相减得 所以．‎ 考点：等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎22.设数列{}的前项和.已知=4，=2+1，.‎ ‎（Ⅰ）求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{||}的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，则 又当时，由，‎ 得.‎ 所以，数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）设，，.‎ 当时，由于，故.‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时，，‎ 所以，‎ ‎【考点】等差、等比数列的基础知识.‎ ‎【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎