2019届二轮复习直线与方程复习课件（28张）（全国通用）（全国通用） 28页

直线与方程 一、知识结构 点↔坐标 倾斜角↔斜率 直线↔二元一次方程 点斜式（斜截式） ↘ 一般式 两点式（截距式） ↗ 从几何直观到代数表示 两条直线的位置关系 距离 从代数表示到几何直观 数形结合思想 分类讨论思想 知识梳理 1.直线的倾斜角 ：（ 1 ） 定义： （ 2 ） 范围 ： 2. 直线的斜率： 注意：与 x 轴垂直的直线不存在斜率 ［0,π） 名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围 两点式 截距式 3. 直线的五种方程 y=kx+b 关于直线的截距 若直线 l 与 x 轴， y 轴的交点分别为 A(a ， 0) ， B(0 ， b) ，我们把坐标值 a ， b 分别叫做 x 轴上的截距， y 轴上的截距，或者横截距，纵截距 , 截距可正可负，亦可以为 0. L 1 :y=k 1 x+b 1 L 2 :Y=K 2 x+b 2 （ K 1 ,k 2 均存在） L 1 : A 1 X+B 1 Y+C 1 =0 L 2 : A 2 X+B 2 Y+C 2 =0 平行 重合 相交 垂直 4. 两直线的位置关系 K 1 =K 2 且 b 1 ≠b 2 K 1 =K 2 且 b 1 =b 2 K 1 ≠K 2 K 1 k 2 =-1 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0 A 1 B 2 -A 2 B 1 =0 且 A 1 C 2 -A 2 C 1 ≠0 ( 或 B 1 C 2 -B 2 C 1 ≠0) A 1 B 2 -A 2 B 1 =0 且 A 1 C 2 -A 2 C 1 =0 ( 或 B 1 C 2 -B 2 C 1 =0) A 1 B 2 -A 2 B 1 ≠0 （ 1) 两点距离公式 （ 3 ）两平行线间距离 : l 1 :A x +B y +C 1 = 0 ， l 2 :A x +B y +C 2 =0 5. 三种距离 (2) 点到直线的距离公式 设点 P( x 0 , y 0 ), 直线 Ax + By + C =0, 点 A （ x ， y ）到原点的距离 （ 4 ）中点坐标公式 例1. 已知A(1,1)，B(2,2)，C(3，－1)． (1)求直线AB、AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边BC上一动点，求直线AD的斜率k的取值范围． 分析：利用数形结合的方法，观察直线AD的变化情况，从而确定k的取值范围． 方法规律： 1.数形结合的方法既可以定性地分析倾斜角和斜率的 关系，也可以定量地求解倾斜角和斜率的取值范围． 2. 倾斜角与斜率的联系 (1) 每一条直线都有倾斜角 , 但不一定有斜率 , 直线的倾斜角 α 的范围是 0°≤α<180°. (2) 当 α=90° 时 , 直线 l 垂直于 x 轴 , 它的斜率 k 不存在 . 3. 过两点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 )(x 1 ≠x 2 ) 的直线的斜率公式： 例 2. 求与直线 3x+4y+1=0 平行，且在两坐标轴上截距之和为 的直线 l 的方程 . 令 x=0 得 y 轴上的截距 令 y=0 得 x 轴上的截距 所以 解得 m= -4, 所以所求直线 l 的方程为 3x+4y-4=0. 解： 方法一：设直线 l 的方程为 3x+4y+m=0, 方法二：易知直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0 ，设直线 l 的方 程为 所以 解得 所以所求直线的方程为 即 3x+4y-4=0. 方法规律： 1. 直线方程的几种形式及确定 (1) 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线，直线方程的一般式则可以表示所有直线 . (2) 在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式 . 2. 确定直线方程的两种方法 (1) 待定系数法，在设直线方程的时候，要注意对斜率不存在的直线讨论 . (2) 从直线的几何性质出发，建立方程 . 例 3. 已知直线 l 1 ： mx+8y+n=0, l 2 ： 2x+my-1=0, 分别满足下列情况： (1) 两直线平行 .(2) 两直线垂直 , 且 l 1 在 y 轴上的截距为 -1. 试分别确定 m,n 的值 . 解： (1)① 当 m=0 时 , 显然 l 1 不平行于 l 2 . ② 当 m≠0 时 , l 1 , l 2 斜率都存在 , 因为 l 1 ∥ l 2 , 故 所以 m=±4. 又当 m=4,n=-2 时 , 两直线重合 , 当 m=-4,n=2 时 , 两直线重合 , 所以当 m=4,n≠-2 或 m=-4,n≠2 时 , 两直线平行 . (2) 当 2×m+m×8=0 时 , 两直线垂直 , 即 m=0, 又 - = -1, 所以 n=8. 方法规律： 1. 两直线平行 (1) 斜率存在且不重合的两条直线 l 1 ： y=k 1 x+b 1 , l 2 ： y=k 2 x+b 2 , 则 l 1 ∥ l 2 ⇔k 1 =k 2 ,b 1 ≠b 2 . (2) 两条不重合直线 l 1 , l 2 的倾斜角为 α 1 ,α 2 , 则 l 1 ∥ l 2 ⇔α 1 =α 2 . (3) 两直线 l 1 ： A 1 x+B 1 y+C 1 =0(A 1 ,B 1 ,C 1 不同时为 0), l 2 ： A 2 x+B 2 y+C 2 =0(A 2 ,B 2 ,C 2 不同时为 0), 则 l 1 ∥ l 2 ⇔A 1 B 2 -A 2 B 1 =0 且 A 1 C 2 -A 2 C 1 ≠0( 或 B 1 C 2 -B 2 C 1 ≠0). 2. 两直线垂直 (1) 斜率存在的两条直线 l 1 ： y=k 1 x+b 1 , l 2 ： y=k 2 x+b 2 , 则 l 1 ⊥ l 2 ⇔k 1 ·k 2 =-1. (2) 两直线 l 1 ： A 1 x+B 1 y+C 1 =0(A 1 ,B 1 ,C 1 不同时为 0), l 2 ： A 2 x+B 2 y+C 2 =0(A 2 ,B 2 ,C 2 不同时为 0), 则 l 1 ⊥ l 2 ⇔A 1 A 2 +B 1 B 2 =0. 例 4. 直线经过点（ 3,4 ），且原点到它的距离为 3 ，求该直线的方程。 解：当直线的斜率存在时，设方程为 y-4=k(x-3), 即 kx-y+4-3k=0 方程为 当直线的斜率不存在时，方程为 x=3 ，也符合题意 方法规律： 1. 点到直线的距离公式 已知一点 P(x 0 ,y 0 ) 及一条直线 l ： Ax+By+C=0, 则点 P 到直线 l 的 距离 2. 两平行直线之间的距离 已知两平行直线 l 1 ： Ax+By+C 1 =0, l 2 ： Ax+By+C 2 =0, 则 l 1 与 l 2 之间 的距离 提醒： 在应用此公式时 , 应将两条直线方程中 x,y 的系数化成 对应相同的形式 . 例 6. 求证：无论 m 取何实数时，直线 ( m -1) x -( m +3) y -( m -11)=0 恒过定点，并求出定点的坐标 . 解： 即： 故直线恒过点 分别令 m=1 ， m=-3 ，得到两个直线的方程，将其联立 将 带入直线方程，恒为零 方法规律： 当 m= 1, n= 0 时 , 方程即为直线 l 1 的方程 ; 当 m= 0, n= 1 时 , 方程即为直线 l 2 的方程 . 上面的直线系方程可改写为 ( A 1 x+B 1 y+C 1 ) +λ ( A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0( 其中 λ ∈ R ), 但是方程中不包括直线 l 2 , 这个参数方程形式在解题中较为常用 . 1.直线 x - y +1=0的倾斜角等于（ 　 ） A. 　　　 B. C. 　　 　 D. 　　 课堂练习 B 2.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C． D.4 【解析】因为直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行， 所以，所以m=8，直线方程6x＋my＋14＝0变为3x＋4y+7＝0 ，则它们之间的距离是，所以选B。 B 3. 已知直线 l 1 : ax+ 2 y+ 6 = 0, 直线 l 2 : x+ ( a- 1) y+a 2 - 1 = 0, 当 l 1 ∥ l 2 时 , a= 　　　　 ; 当 l 1 ⊥ l 2 时 , a= 　　　　 .   【解析】当l 1 ∥l 2 时, ， 解得 ； 当l 1 ⊥l 2 时, ，解得 -1 4.点P(－1，2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________ 。 5. 求通过点 ( － 1 ， 2) ，且与直线 y =2 x +1 平行的直线方程 . 【解析】设与直线y=2x+1平行的直线方程为y=2x+b,因为直 线通过点(－1，2)，所以2=2*（-1）+b,所以b=4,所以直线方 程为y=2x+4. 小结： 1. 直线的倾斜角的范围 斜率公式 ； 2. 确定直线方程的方法： 3. 直线的平行与垂直； 4. 距离公式： ； 5. 对称问题。 ［0,π） 待定系数法