2018届二轮复习（理）回扣9　计数原理课件（全国通用） 36页

回扣 9 　 计数原理 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 分类加法计数原理 完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种方法，在第二类办法中有 m 2 种方法， … ，在第 n 类办法中有 m n 种方法，那么完成这件事共有 N ＝ m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n 种方法 ( 也称加法原理 ). 2. 分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m 1 种方法，做第二步有 m 2 种方法， … ，做第 n 步有 m n 种方法，那么完成这件事共有 N ＝ m 1 × m 2 ×…× m n 种方法 ( 也称乘法原理 ). 3. 排列 (1) 排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 4. 组合 (1) 组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 . 6. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为 n ＋ 1. (2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n ，即 a 与 b 的指数的和为 n . (3) 字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n . Ⅱ 易错提醒 1. 关于两个计数原理应用的注意事项 (1) 分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对 “ 分步 ” 问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事 . (2) 混合问题一般是先分类再分步 . (3) 分类时标准要明确，做到不重复不遗漏 . (4) 要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律 . 2. 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1) 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 . (2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 . (3) 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数 . 3. 排列、组合问题的求解方法与技巧 (1) 特殊元素优先安排 .(2) 合理分类与准确分步 .(3) 排列、组合混合问题先选后排 .(4) 相邻问题捆绑处理 .(5) 不相邻问题插空处理 .(6) 定序问题排除法处理 .(7) 分排问题直排处理 .(8) “ 小集团 ” 排列问题先整体后局部 .(9) 构造模型 .(10) 正难则反，等价条件 . 4. 对于二项式定理应用时要注意 (1) 区别 “ 项的系数 ” 与 “ 二项式系数 ” ，审题时要仔细 . 项的系数与 a ， b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正 . (2) 运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k ，再求所需的某项；有时需先求 n ，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系 . (3) 赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0 ， ±1. (4) 在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a ， b . III 回归训练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 A.224 B.112 C.56 D.28 √ 解析　 根据分层抽样，从 8 名女生中抽取 2 人，从 4 名男生中抽取 1 人， 答案 解析 2.5 人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有 A.12 种 B.24 种 C.48 种 D.60 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由分步乘法计数原理，得共有 2 × 24 ＝ 48( 种 ) 排法，故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任 ( 每班 1 位班主任 ) ，要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 因为要求 3 位班主任中男、女教师都要有， 所以共有两种情况， 1 男 2 女或 2 男 1 女 . 若选出的 3 位教师是 1 男 2 女 ， 若选出的 3 位教师是 2 男 1 女， 所以共有 180 ＋ 240 ＝ 420( 种 ) 不同的方案，故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有 A.150 种 B.180 种 C.240 种 D.540 种 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2016· 四川 ) 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A.24 B.48 C.60 D.72 解析　 由题可知，五位数要为奇数， 则个位数只能是 1,3,5. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为 A.180 B.240 C.360 D.420 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉， 则 2,4 两个花池栽同一种颜色的花， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 某天连续有 7 节课，其中语文、英语、物理、化学、生物 5 科各 1 节，数学 2 节 . 在排课时，要求生物课不排第 1 节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为 A.408 B.480 C.552 D.816 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据分类加法计数原理，共有 96 ＋ 54 ＋ 180 ＋ 78 ＝ 408( 种 ) 排法 . 故选 A . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 设 i 为虚数单位，则 ( x ＋ i) 6 的展开式中含 x 4 的项为 A. － 15 x 4 B.15 x 4 C. － 20i x 4 D.20i x 4 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 依题意得所有二项式系数的和为 2 n ＝ 32 ，解得 n ＝ 5. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 书架上原来并排放着 5 本不同的书，现要再插入 3 本不同的书，那么不同的插入方法共有 ________ 种 . 336 解析　 由题意得 3 本不同的书，插入到原来的 5 本不同的书中，可分为三步， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名，分别乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学 ( 乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置 ) ，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 ____ 种 . 24 根据分类加法计数原理可知，共有 24 种乘车方式 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 已知 (1 ＋ 2 x ) 6 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 6 x 6 ，则 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | ＝ ______.( 用数字作答 ) 729 解析 　 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | 相当于 (1 ＋ 2 x ) 6 的展开式中各项系数绝对值的和， 令 x ＝ 1 ，得 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | ＝ 3 6 ＝ 729. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.( x 2 － x ＋ 1) 10 展开式中 x 3 项的系数为 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － 210 答案 解析 令 2 k － m ＝ 3 且 m ≤ k ≤ 10 ， m ∈ N ， k ∈ N ，