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- 2021-06-24 发布
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2019-2020学年第一学期高二期末联考
数学(理)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先分别求出集合A,B,由此能求出.
【详解】解:集合,
,
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.已知直线l、m,平面、,且,,下列命题中正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定与性质逐个判断,同时结合长方体举反例即可.
【详解】画出如图长方体.
对A, 若,则因为,故,又,所以,故A正确.
对B,当为,为,面为,为面时,满足,,,
但不成立.故B错误.
对C, 当为,为,面为,为面时, 满足,,,但不成立.故C错误.
对D, 当为,为,面为,为面时, 满足,,,但不成立.故D错误.
故选:A
【点睛】本题主要考查平行垂直的判断,可直接利用线面垂直的方法进行判定,或者在长方体中举出反例即可.属于基础题型.
3.若直线与直线垂直,则实数的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知,求实数的值.
【详解】由题意可知
整理为: ,
解得:或
故选:D
【点睛】本题考查根据两条直线垂直求参数意在考查基本公式和基本概念,属于基础题型,若和互相垂直,则,若与互相垂直,则.
4.已知椭圆E:与双曲线C:(,)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出椭圆焦点坐标,即为双曲线焦点坐标,再由双曲线中的关系求得后可得渐近线方程.
【详解】椭圆E的焦点为.故.双曲线C的渐近线方程为.
故选D.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程,考查其几何性质.属于基础题.
5.下列结论中错误的是( )
A. “﹣2<m<3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件
B. 命题p:,使得的否定
C. 命题“若,则方程有实根”的逆否命题是真命题
D. 命题“若,则且”的否命题是“若,则或”
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一判断选项,A.当方程表示椭圆时,求的范围,再判断是否是必要非充分条件;B.根据特称命题的否定形式直接判断;C.利用原命题和逆否命题的等价性判断;D.根据否命题的形式判断.
【详解】A.当方程表示椭圆时, ,解得:,且,
设 ,,
“﹣2<m<3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件,故正确;
B.根据特称命题的否定形式可知:,,故错误;
C.方程有实根,则,解得: ,所以“若,则方程有实根”是真命题,原命题和逆否命题等价,所以其逆否命题也是真命题,故正确;
D.根据原命题与否命题的形式可判断是正确.
故选:B
【点睛】本题考查判断命题的真假,重点考查简易逻辑的相关基础知识,属于基础题型.
6.的内角所对边分别为若,成等差数列,则( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
B,A,C成等差数列,可得2A=B+C=π﹣A,解得A.利用正弦定理可得sinB,即可得出.
【详解】∵B,A,C成等差数列,
∴2A=B+C=π﹣A,
解得A.
则sinB,
又a>b,∴B为锐角.
∴B.
故选:A.
【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.设变量,满足约束条件,则的最大值是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域,利用的几何意义利用数形结合分析即可得到结论.
【详解】
由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分),
因为,所以,
平移直线,由图象可知当直线经过点时,
目标函数取得最大值,
由,解得,
即,
即,
故的最大值为9.
故选C.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.要求熟练掌握常见目标函数的几何意义.
8.已知,,,则的最小值是( ).
A. 3 B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
已知条件变形为,再根据,展开利用基本不等式求最值.
【详解】由已知结合指数运算性质可得,所以,
从而,
当且仅当时等号成立,即,又
解得:,.
故选:A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,意在考查变形和计算能力,属于基础题型.
9.定义在上的函数满足,且时,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由可得函数为奇函数,由可得,故函数的周期为4.所以
,因为,所以
.故,选A.
点睛:根据得到函数为奇函数和周期函数是解题的关键,然后根据对数的运算性质将问题转化到区间内解决.
10.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积.
【详解】解:由三视图还原原几何体如图,
该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.则.扩展为长方体,
它的对角线的PB即为球的直径:
该三棱锥的外接球的表面积为:41π
故选:A
【点睛】本题考查三视图,几何体的外接球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.
11.已知函数,,且函数是偶函数,若函数恰好有三个零点,则该函数的零点是( )
A. B. C. D. .
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数是偶函数,得出关于直线对称,求出,即可求出的解析式,为偶函数,恰好有三个零点,可得
为其零点,代入求出的值,令进而求出该函数的零点.
【详解】函数是偶函数,所以
关于关于直线对称,
,;
设
为偶函数,
恰好有三个零点,
故必有一个零点为0,,
,令则整理得,
,解得或,
当时,;
当时,,
所求函数的零点为.
故选:B
【点睛】本题考查函数的对称性.函数解析式,以及利用函数的性质求零点问题,考查计算能力,是一道较为综合的题.
12.若直线与抛物线交于两个不同的点,抛物线的焦点为,且成等差数列,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设.由得,由韦达定理得,因为直线与抛物线交于两个不同的点,所以即, 由抛物线的性质可知,再结合条件有,进而得而出答案.
【详解】设.由消去,得,
故,解得,且.
由,且成等差数列,
得,得,
所以,解得又,故,
故选:D
【点睛】圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点,解题的一般方法是设出交点坐标,将直线方程与圆锥曲线方程联立,再通过韦达定理结合题意求解。
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
13.已知数列中,,,则的值是____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的递推关系式求出数列的前几项,得到数列的周期,然后求解即可.
【详解】数列,
可得a2=﹣3;a3;a4;所以数列的周期为3,
a2020=a673×3+1=a1.
故答案为:.
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,求解数列的周期是解题的关键,是基本知识的考查.
14.在如图所示的四棱锥中,四边形为菱形,,,M为中点.则点M到平面的距离是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得DM⊥AD,DM⊥PA,且,可得DM⊥平面PAD,故而平面PAD⊥平面ABCD;根据VM﹣PBD=VP﹣BDM即可求出M到平面PBD的距离.
【详解】∵四边形为菱形,且,∴是等边三角形,又M是的中点,
∴,又,∴,又,
∴平面,又平面,∴平面平面.
取的中点H,连接,∵,
∴,且,
由平面平面,平面平面,
∴平面,故,∴,又,
∴, 设M到平面距离为h,则.
又,∴,解得.
∴点M到平面的距离为.
故答案为:
【点睛】本题考查点到面的距离,意在考查推理能力,和转化与化归的思想和计算能力,一般求点到平面的距离的方法:1.定义法;2.等体积转化法.
15.设A.B分别为双曲线(a>0,b>0)的左.右顶点,P是双曲线上不同于A.B的一点,直线AP.BP的斜率分别为m.n,则当取最小值时,双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据点的关系确定mn,再根据基本不等式确定最小值,最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.
【详解】设,则 ,
因此 当且仅当时取等号,
所以离心率是.
故答案为:
【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题,属于基础题型,一般求双曲线离心率的方法是1.直接法:直接求出,然后利用公式求解;2.公式法:
,3.构造法:根据条件,可构造出的齐次方程,通过等式两边同时除以,进而得到关于的方程.
16.设函数的定义域为R,满足,且当时,若对任意,都有,则m的取值范围是_______。
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可求的函数,并求和的值域,并且计算当时,的解,根据图象求的取值范围.
【详解】∵,.
∵时,;
∴时,,;
当时,
当时,,
由解的
如图,画出函数图象
若对任意,都有,则.
所以m的取值范围是.
故答案为:
【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用,意在考查分析问题和解决问题的能力,本题的关键是根据已知条件求的解析式,并能数形结合分析问题.
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若的面积为,求周长的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
由条件可知,并且利用二倍角公式化简为,计算;
(2)由(1)求得,求得,再结合余弦定理和基本不等式求周长的范围.
【详解】(1)由题设及,及二倍角余弦公式可得;
所以
(2)由得
,
,
故.
又,则.
由余弦定理得:
∴ (当且仅当a=c时取等号)
所以.
【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角面积和余弦定理的综合应用,意在考查转化与化归的思想和计算能力,属于基础题型.
18.已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过(2,0)点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
【答案】(1)(x-1)2+(y+2)2=2;(2)x=2或3x-4y-6=0.
【解析】
【分析】
(1)由条件可知圆心的坐标为,再根据条件转化为关于的方程,根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程;
(2)分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论,利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1,求直线方程.
【详解】(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),
则=.
化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.
所以C点坐标为(1,-2),
半径r=|AC|==.
故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,
满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x—2),即 kx-y-2k=0
由题意得,解得k=,
则直线l的方程为y=(x-2).
综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y-6=0.
【点睛】本题考查求圆的标准方程和直线与圆相交求直线方程,意在考查待定系数法求曲线方程,属于基础题型.
19.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项
(1)求数列{an}通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由已知条件直接求得,再利用,,列方程求和通项公式;
(2)由(1)可知,,利用裂项相消法求和.
【详解】(1)由是的等差中项得,
所以,
解得.
由得,
因为,所以.
所以
(2)记
则
所以
【点睛】本题主要考查等差数列.等比数列.数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.
20.已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),则BD=,因为△ABD∽△DCB,所以=,即,求得边长,再取过A作AOBD于O,则AO平面BDC,过O作OG//DC交BC于G,以O为坐标原点 OB,OG,OA分别为x.y.z轴非负半轴建立空间直角坐标系,利用向量的坐标法求二面角的余弦值.
【详解】(1)证明 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD⊥DC,DC⊂平面BCD,
所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB,
又因为AD⊥AB,且DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC.
(2)解 由(1)知DC⊥平面ABD,所以∠DAC为AC与平面ABD所成角.
依题意得tan∠DAC==,
因为AD=1,所以CD=,
设AB=x(x>0),则BD=,
因为△ABD∽△DCB,所以=,即,
解得x=,故AB=,BD=.
过A作AOBD于O,则AO平面BDC,过O作OG//DC交BC于G,以O为坐标原点 OB,OG,OA分别为x.y.z轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示
面ABD法向量可取
DO=,OA=
D(,0,0) A(0,0,),,
,所以 ,
设面DAE法向量为则
取
又二面角B—AD—E是锐角,所以所求二面角的余弦值为。
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和空间向量坐标法求二面角的余弦值,意在考查推理与证明和计算能力,不管证明线面垂直还是证明面面垂直,证明的基础都是线线垂直,证明线线垂直的方法包含1.菱形对角线互相垂直,2.勾股定理;3.直角三角形或矩形等特殊图形,4.等腰三角形底边三线重合,5.线面垂直推出线线垂直等方法.
22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时,|RS|=3.
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 若点M(0,m),(),过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A.B,y轴上是否存在点N(0,n)使∠ANM=∠BNM恒成立?若存在,判断m、n应满足关系;若不存在,说明理由。
(3) 在(2)条件下m=1时,求△ABN面积的最大值。
【答案】(1)+=1;(2)答案不唯一,见解析;(3).
【解析】
【分析】
(1)由内切圆半径表示三角形的面积,可得,再由,求得椭圆方程;
(2)分轴和不垂直于轴时两种情况,当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,直线与椭圆方程联立,,代入根与系数的关系,得到的关系;
(3)由(2)得n=3 M(0,1).N(0,3)设直线AB的方程为y=kx+1,也椭圆方程联立,得到根与系数的关系,并表示面积,代入根与系数的关系,利用基本不等式求最值.
【详解】(1)由内切圆的性质,得×2c×b=×(2a+2c)×,得=.
将x=c代入+=1,得y=±,所以=3.
又a2=b2+c2,所以a=2,b=,故椭圆C的标准方程为+=1.
(2) ①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0.
②当AB与x轴不垂直时,设直线AB方程为y=kx+m.
联立方程消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.()
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=.
假设存在N(0,n)
则kAN+kBN=
=
=0.(*),对任意k∈R恒成立.
所以mn=3且m≠0.
m=0时由(*)式知不存在点N符合题意,
综上:m=0时不存在, 时存在点N(0,n),mn=3。
(3)由(2)得n=3 M(0,1).N(0,3)设直线AB的方程为y=kx+1.
由
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=.
,令则t ≥1,
当且仅当 t=1,k=0时 取的最大值。
所以△ABN面积的最大值为
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题,涉及椭圆中三角形面积的最值的求法,第二问和第三问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.