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- 2021-06-24 发布
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核心素养测评四十五 利用空间向量求二面角与空间距离
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于 ( )
A.4 B.2 C.3 D.1
【解析】选B.P点到平面OAB的距离为d===2.
2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=,则二面角A-BD-C的大小为 ( )
A. B. C.或 D.或
【解析】选C.如图所示,当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于=;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等于π-=π-=.
3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 ( )
A.2 B. C. D.1
【解析】选D.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,),易知AC1∥平面BDE.
10
设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.
则
取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量.
又=(2,0,0),
所以点A到平面BDE的距离是
d===1.
故直线AC1到平面BED的距离为1.
4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为 ( )
A. B.2
C. D.
【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
10
由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),
C(-2,2,0),P(0,0,4).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则所以
所以y=z=-x,所以取m=(-1,,1),
因为=(0,4,4),
所以d===,所以点A到平面PBC的距离为.
5.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4,AC,BD交于点E,则 ( )
A.M为PB的中点
B.二面角B-PD-A的大小为
C.若O为AD的中点,则OP⊥OE
D.直线MC与平面BDP所成的角为
【解析】选ABC.如图①,连接ME,
因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点.
10
如图②,取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.
因为四边形ABCD是正方形,所以OE⊥AD.
如图②,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).
设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则即
令x=1,则y=1,z=.于是n=(1,1,).
平面PAD的法向量为p=(0,1,0),
所以cos==.由题意知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.
由题意知M,C(2,4,0),
=.
设直线MC与平面BDP所成角为α,则sin α=|cos|==,
所以直线MC与平面BDP所成角不为.
二、填空题(每小题5分,共15分)
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6.如图所示,P是二面角α-AB-β棱上一点,分别在α,β内引射线PM,PN,若
∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β大小为________.
【解析】如图,过M在α内作MF⊥AB,过F在β内作FN⊥AB交PN于点N,连接MN.
因为∠MPB=∠NPB=45°,所以△PMF≌△PNF.
设PM=1,则MF=NF=,PM=PN=1,
又因为∠MPN=60°,所以MN=PM=PN=1,
所以MN2=MF2+NF2,所以∠MFN=90°.
答案:90°
7.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.
【解析】根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).
过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
因为PA=PB=PC,所以H为△ABC的外心.
又因为△ABC为正三角形,所以H为△ABC的重心,
可得H点的坐标为,,.
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所以PH==a.所以点P到平面ABC的距离为a.
答案:a
8.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值为________.
【解析】设M(0,m,m)(0≤m≤a),=
(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量
s 0=-,0,,
由=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d=
=
=,根式内的二次函数当m=-=时取最小值2-a×+a2=a2,故d的最小值为a.
答案:a
三、解答题(每小题10分,共20分)
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9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.
(1)求证:CD=C1D.
(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.
(3)求点C到平面B1DP的距离.
【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.
因为B1P∥平面BDA1,B1P⊂平面AB1P,平面AB1P∩平面BA1D=OD,所以B1P∥OD.
又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.
因为C1D∥AA1,所以C1为A1P的中点.
所以DC1=AA1=CC1,所以C1D=CD.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,
则B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,,
所以=(1,0,0),=(1,0,1),
=0,1,.
设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).
10
由得
令z1=2,则x1=-2,y1=-1,
所以n=(-2,-1,2).
又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,
所以cos===-.
由图形可知二面角A-A1D-B为锐角,
所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.
(3)因为C(0,1,1),D0,1,,B1(1,0,0),
P(0,2,0),
所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.
设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).
由得
令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).
所以点C到平面B1DP的距离d==.
10.(2018·全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
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(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以 DM⊥CM.
又 BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.
由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),
=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0),
设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,
则即
可取n=(1,0,2).
是平面MCD的法向量,因此cos==,sin=,
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.
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