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- 2021-06-24 发布
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高三文科数学
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合,按交集定义即可求解.
【详解】,
.
故选:D.
【点睛】本题考查交集的运算,以及不等式的解法,属于基础题.
2.若复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到,再计算共轭复数得到答案.
【详解】,则,故.
故选:.
【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,意在考查学生的计算能力.
3.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】特称命题的否定是全称命题,
故命题“”的否定是:.
故选:.
【点睛】本题考查了特称命题的否定,意在考查学生的推断能力.
4.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.
【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,
在中,,故,即.
故选:.
【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.
5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.
【详解】设函数解析式为,
根据图像:,,故,即,
,,取,得到,
函数向右平移个单位得到.
故选:.
【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
6.已知变量,满足不等式组,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值.
【详解】解:由变量,满足不等式组,画出相应图形如下:
可知点,,
在处有最小值,最小值为.
故选:B.
【点睛】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D. 84
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.
【详解】该几何体的直观图如图所示:
故.
故选:.
【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式将所求的角化为与已知同角,再利用同角间的三角函数关系,即可求解.
【详解】,
,
,
.
故选:C.
【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值,应用平方关系要注意角的范围判断,属于中档题.
9.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为( )
A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年
【答案】D
【解析】
【分析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.
【详解】依题意在回归直线上,
,
由,
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.
10.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.
【详解】,
当时,,当时,,
当时,,当时,,
当时,,当时,,
最小值为.
故选:D.
【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.
11.函数在内有且只有一个零点,则a的值为( )
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.
【详解】,
若,,
在单调递增,且,
在不存在零点;
若,,
在内有且只有一个零点,
.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.
12.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设过点作圆 的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.
【详解】设过点作圆 的切线的切点为,
,
所以是中点,,
,
.
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.记为等比数列的前n项和,已知,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为,将已知条件等式转化为关系式,求解即可.
【详解】设等比数列的公比为,
,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算,属于基础题.
14.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.
【答案】
【解析】
在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,
其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为 •2πR,
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==;
故答案为:.
15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据图像归纳,根据等差数列求和公式得到答案.
【详解】根据图像:,,故,
故.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等差数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.
16.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.
【详解】,
,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,.
(1)求cosC;
(2)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为,求sin∠ADB.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据诱导公式和二倍角公式,将已知等式化为角关系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;
(2)在中,根据面积公式求出长,根据余弦定理求出,由正弦定理求出
,即可求出结论.
【详解】(1),
,
;
(2)在中,由(1)得,
,
由余弦定理得
,
,在中,
,
.
【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.
18.改革开放年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.
求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;
已知交通安全意识强的样本中男女比例为,完成下列列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人,再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有人得分低于分的概率.
附:其中
【答案】,概率为;列联表详见解析,有的把握认为交通安全意识与性别有关;.
【解析】
【分析】
根据频率和为列方程求得的值,计算得分在分以上的频率即可;
根据题意填写列联表,计算的值,对照临界值得出结论;
用分层抽样法求得抽取各分数段人数,用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.
【详解】解:
解得.
所以,该城市驾驶员交通安全意识强的概率
根据题意可知,安全意识强的人数有,
其中男性为人,女性为人,
填写列联表如下:
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
所以有把握认为交通安全意识与性别有关.
由题意可知分数在,的分别为名和名,
所以分层抽取的人数分别为名和名,
设的为,,的为,,,,则基本事件空间为,,,,,,,,,,,,,,共种,
设至少有人得分低于分的事件为,则事件包含的基本事件有
,,,,,,,,共种
所以.
【点睛】本题考查独立性检验应用问题,也考查了列举法求古典概型的概率问题,属于中档题.
19.在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=
2EF,EFAB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.
(1)证明:BD⊥EG;
(2)若三棱锥,求菱形ABCD的边长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)取中点,连,可得,结合平面EAD⊥平面ABCD,可证
平面ABCD,进而有,再由底面是菱形可得,可得,
可证得平面,即可证明结论;
(2)设底面边长为,由EFAB,AB=2EF,,求出体积,建立的方程,即可求出结论.
【详解】(1)取中点,连,
底面ABCD为菱形,,
,平面EAD⊥平面ABCD,
平面平面平面,
平面平面,
底面ABCD为菱形,,
为中点,,
平面,
平面平面,;
(2)设菱形ABCD的边长为,则,
,
,
,
,所以菱形ABCD的边长为.
【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积,注意空间中垂直关系之间的相互转化,体积问题要熟练应用等体积方法,属于中档题.
20.已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【分析】
(1)由抛物线准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;
(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.
【详解】(1)抛物线的准线方程为,
,直线,点F到直线l的距离为,
,
所以椭圆的标准方程为;
(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,
联立,消去得,,
,设,
,
,
,
线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,
,,
,平方整理得,
解得或(舍去),,
所求的直线方程为或.
【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.
21.设函数().
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.
【答案】(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.
【解析】
【分析】
(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;
(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.
【详解】(1),
当时,恒成立,
当时,,
综上,当时,递增区间时,无递减区间,
当时,递增区间时,递减区间时;
(2),
令,原方程只有一个解,只需只有一个解,
即求只有一个零点时,的取值范围,
由(1)得当时,在单调递增,
且,函数只有一个零点,原方程只有一个解,
当时,由(1)得在出取得极小值,也是最小值,
当时,,此时函数只有一个零点,
原方程只有一个解,
当且
递增区间时,递减区间时;
,当,
有两个零点,
即原方程有两个解,不合题意,
所以的取值范围是或.
【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到单调性、零点、极值最值,考查分类讨论和等价转化思想,属于中档题.
请考生在第22~23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)6(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)化简得到直线的普通方程化为,,是以点为圆心,为半径的圆,利用垂径定理计算得到答案.
(Ⅱ)设,则,得到范围.
【详解】(Ⅰ)由题意可知,直线的普通方程化为,
曲线的极坐标方程变形为,
所以的普通方程分别为,是以点为圆心,为半径的圆,
设点到直线的距离为,则, 所以.
(Ⅱ)的标准方程为,所以参数方程为(为参数),设,
,
因为,所以,
所以
【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.
23.已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数取值范围.
【答案】(Ⅰ)或.(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.
(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.
【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,
变形为或或,解集为或.
(Ⅱ)当时,,
由此可知在单调递减,在单调递增,
当时,同样得到在单调递减,在单调递增,
所以,存在满足不等式,只需,即,
解得.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.