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  • 2021-06-24 发布

山东省威海市文登区2019届高三三模考试数学(文)试题

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高三文科数学 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.若集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,按交集定义即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算,以及不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.若复数满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到,再计算共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】,则,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.命题“”的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题得到答案.‎ ‎【详解】特称命题的否定是全称命题,‎ 故命题“”的否定是:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了特称命题的否定,意在考查学生的推断能力.‎ ‎4.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则( )‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,‎ 在中,,故,即.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.‎ ‎【详解】设函数解析式为,‎ 根据图像:,,故,即,‎ ‎,,取,得到,‎ 函数向右平移个单位得到.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎6.已知变量,满足不等式组,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值.‎ ‎【详解】解:由变量,满足不等式组,画出相应图形如下:‎ 可知点,,‎ 在处有最小值,最小值为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. 84‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.‎ ‎【详解】该几何体的直观图如图所示:‎ 故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎8.已知,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式将所求的角化为与已知同角,再利用同角间的三角函数关系,即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值,应用平方关系要注意角的范围判断,属于中档题.‎ ‎9.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为( )‎ A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.‎ ‎【详解】依题意在回归直线上,‎ ‎,‎ 由,‎ 估计第年维修费用超过15万元.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.‎ ‎10.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.‎ ‎【详解】,‎ 当时,,当时,,‎ 当时,,当时,,‎ 当时,,当时,,‎ 最小值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.‎ ‎11.函数在内有且只有一个零点,则a的值为( )‎ A. 3 B. -‎3 ‎C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.‎ ‎【详解】,‎ 若,,‎ 在单调递增,且,‎ 在不存在零点;‎ 若,,‎ 在内有且只有一个零点,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎12.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点作圆 的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.‎ ‎【详解】设过点作圆 的切线的切点为,‎ ‎,‎ 所以是中点,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.记为等比数列的前n项和,已知,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为,将已知条件等式转化为关系式,求解即可.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算,属于基础题.‎ ‎14.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,‎ 其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为 •2πR,‎ 则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==;‎ 故答案为:.‎ ‎15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像归纳,根据等差数列求和公式得到答案.‎ ‎【详解】根据图像:,,故,‎ 故.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎16.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,.‎ ‎(1)求cosC;‎ ‎(2)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为,求sin∠ADB.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据诱导公式和二倍角公式,将已知等式化为角关系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;‎ ‎(2)在中,根据面积公式求出长,根据余弦定理求出,由正弦定理求出 ‎,即可求出结论.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2)在中,由(1)得,‎ ‎,‎ 由余弦定理得 ‎,‎ ‎,在中,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.改革开放年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.‎ 求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;‎ 已知交通安全意识强的样本中男女比例为,完成下列列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人,再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有人得分低于分的概率.‎ 附:其中 ‎【答案】,概率为;列联表详见解析,有的把握认为交通安全意识与性别有关;.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率和为列方程求得的值,计算得分在分以上的频率即可;‎ 根据题意填写列联表,计算的值,对照临界值得出结论;‎ 用分层抽样法求得抽取各分数段人数,用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.‎ ‎【详解】解: ‎ 解得. ‎ 所以,该城市驾驶员交通安全意识强的概率 ‎ 根据题意可知,安全意识强的人数有,‎ 其中男性为人,女性为人,‎ 填写列联表如下:‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 ‎ ‎ 所以有把握认为交通安全意识与性别有关. ‎ 由题意可知分数在,的分别为名和名, ‎ 所以分层抽取的人数分别为名和名, ‎ 设的为,,的为,,,,则基本事件空间为,,,,,,,,,,,,,,共种, ‎ 设至少有人得分低于分的事件为,则事件包含的基本事件有 ‎,,,,,,,,共种 所以.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验应用问题,也考查了列举法求古典概型的概率问题,属于中档题.‎ ‎19.在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=‎ ‎2EF,EFAB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:BD⊥EG;‎ ‎(2)若三棱锥,求菱形ABCD的边长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取中点,连,可得,结合平面EAD⊥平面ABCD,可证 平面ABCD,进而有,再由底面是菱形可得,可得,‎ 可证得平面,即可证明结论;‎ ‎(2)设底面边长为,由EFAB,AB=2EF,,求出体积,建立的方程,即可求出结论.‎ ‎【详解】(1)取中点,连,‎ 底面ABCD为菱形,,‎ ‎,平面EAD⊥平面ABCD,‎ 平面平面平面,‎ 平面平面,‎ 底面ABCD为菱形,,‎ 为中点,,‎ 平面,‎ 平面平面,;‎ ‎(2)设菱形ABCD的边长为,则,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,所以菱形ABCD的边长为.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积,注意空间中垂直关系之间的相互转化,体积问题要熟练应用等体积方法,属于中档题.‎ ‎20.已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由抛物线准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;‎ ‎(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.‎ ‎【详解】(1)抛物线的准线方程为,‎ ‎,直线,点F到直线l的距离为,‎ ‎,‎ 所以椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,‎ 联立,消去得,,‎ ‎,设,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,‎ ‎,,‎ ‎,平方整理得,‎ 解得或(舍去),,‎ 所求的直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.‎ ‎21.设函数().‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;‎ ‎(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.‎ ‎【详解】(1),‎ 当时,恒成立,‎ 当时,,‎ 综上,当时,递增区间时,无递减区间,‎ 当时,递增区间时,递减区间时;‎ ‎(2),‎ 令,原方程只有一个解,只需只有一个解,‎ 即求只有一个零点时,的取值范围,‎ 由(1)得当时,在单调递增,‎ 且,函数只有一个零点,原方程只有一个解,‎ 当时,由(1)得在出取得极小值,也是最小值,‎ 当时,,此时函数只有一个零点,‎ 原方程只有一个解,‎ 当且 递增区间时,递减区间时;‎ ‎,当,‎ 有两个零点,‎ 即原方程有两个解,不合题意,‎ 所以的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到单调性、零点、极值最值,考查分类讨论和等价转化思想,属于中档题.‎ 请考生在第22~23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;‎ ‎(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)6(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)化简得到直线的普通方程化为,,是以点为圆心,为半径的圆,利用垂径定理计算得到答案.‎ ‎(Ⅱ)设,则,得到范围.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可知,直线的普通方程化为,‎ 曲线的极坐标方程变形为,‎ 所以的普通方程分别为,是以点为圆心,为半径的圆,‎ 设点到直线的距离为,则, 所以. ‎ ‎(Ⅱ)的标准方程为,所以参数方程为(为参数),设,‎ ‎,‎ 因为,所以, ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)或.(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.‎ ‎(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,‎ 变形为或或,解集为或. ‎ ‎(Ⅱ)当时,,‎ 由此可知在单调递减,在单调递增, ‎ 当时,同样得到在单调递减,在单调递增,‎ 所以,存在满足不等式,只需,即,‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎