2021高考数学一轮复习课后限时集训51椭圆及其性质文北师大版2 6页

课后限时集训51‎ 椭圆及其性质 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D．4‎ A　[由题意知F1(－，0)，把x＝－，代入方程＋y2＝1得＋y2＝1，解得y＝±，则|PF1|＝，所以|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝，故选A.]‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. C　[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.]‎ ‎3．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)‎ A．4 B．8 ‎ C．4或8 D．12‎ C　[由题意知，即2＜m＜10.‎ 又2c＝4，即c＝2，则(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，‎ 解得m＝4或m＝8，故选C.]‎ ‎4．(2019·呼和浩特模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点．若∠A1PA2的最大值可以取到120°，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. - 6 -‎ D　[由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，∠A1PA2有最大值，则tan 60°＝，即＝.‎ 所以e2＝1－＝1－＝，‎ 即e＝，故选D.]‎ ‎5．△ABC的周长是8，B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠0)‎ C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)‎ A　[由题意知|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝6，‎ ‎∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆且2a＝6，c＝1，则b2＝8.‎ 所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．]‎ 二、填空题 ‎6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．‎ ＋＝1　[由题意知解得 因此所求椭圆方程为＋＝1.]‎ ‎7．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．‎ 　[由题意知解得 又|F1F2|＝2，则|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，‎ 即PF2⊥F1F2.‎ ‎∴S△PF1F2＝×|F1F2|×|PF2|＝×2×1＝.]‎ ‎8．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．‎ ‎(－3,0)或(3,0)　[记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.‎ 则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．]‎ 三、解答题 - 6 -‎ ‎9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．‎ ‎[解]　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．‎ ‎∵F1A⊥F2A，∴·＝0，‎ 而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，‎ ‎∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，‎ ‎∴c2＝25，即c＝5.‎ ‎∴F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ ‎∴2a＝|AF1|＋|AF2|‎ ‎＝＋ ‎＝＋＝4，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．‎ ‎[解]　椭圆方程可化为＋＝1，m＞0.‎ ‎∵m－＝＞0，‎ ‎∴m＞，∴a2＝m，b2＝，‎ c＝＝.‎ 由e＝，得＝，∴m＝1.‎ ‎∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，‎ ‎∴a＝1，b＝，c＝.‎ - 6 -‎ ‎∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.‎ ‎1．(2019·哈尔滨模拟)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)‎ A．2 B．2　　　　‎ C．4　　　　 D．4 C　[设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2.(图略)因为|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.故选C.]‎ ‎2．(2019·衡水模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. B　[由题意知|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得 ‎2R＝＝＝c，即R＝.‎ 由余弦定理得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4a2－3|PF1|·|PF2|，‎ ‎∴|PF1||PF2|＝(a2－c2)．‎ ‎∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin＝.‎ 又S△F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝(a＋c)r，‎ ‎∴＝(a＋c)r，‎ ‎∴r＝.‎ - 6 -‎ 由R＝4r得＝，‎ ‎∴＝，故选B.]‎ ‎3．(2019·揭阳模拟)已知椭圆的焦点在y轴上，中心在坐标原点，其在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为________．‎ ＋＝1　[设椭圆上、下两个焦点分别为F1，F2，右顶点为A.‎ 由题意知|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b＝ 则所求椭圆方程为＋＝1.]‎ ‎4．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ ‎[解](1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．‎ 故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，‎ 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　　 ①‎ 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 把点N(x1，y1)代入C的方程，得＋＝1. ②‎ 将①及c＝代入②得＋＝1.‎ 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.‎ ‎1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)‎ - 6 -‎ A.　　　　　　 B. C. D. A　[由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得＜e＜.]‎ ‎2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎[解](1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由题意得解得c＝.‎ 所以b2＝a2－c2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．‎ 由题设知m≠±2，且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM＝，‎ 故直线DE的斜率kDE＝－.‎ 所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．‎ 直线BN的方程为y＝(x－2)．‎ 联立 解得点E的纵坐标yE＝－.‎ 由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，‎ 所以yE＝－n.‎ 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，‎ S△BDN＝|BD|·|n|，‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ - 6 -‎