高中数学必修5能力强化提升2-5 5页

‎2.5　等比数列的前n项和 双基达标　(限时20分钟) ‎1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为 (　　)．‎ A．63 B．64 C．127 D．128‎ 解析　设公比为q(q>0)，‎ 由a5＝a1q4及题设，知16＝q4.‎ ‎∴q＝2.∴S7＝＝＝127.‎ 答案　C ‎2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于 (　　)．‎ A．2 B．4 C. D. 解析　＝＝＝.‎ 答案　C ‎3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)．‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ 解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.‎ ‎∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.‎ 答案　C ‎4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.‎ 解析　由a1＝1，S6＝4S3，‎ ‎∴＝4·，‎ ‎∴1－q6＝4(1－q3)．得q3＝3，‎ 故a4＝a1q3＝1×3＝3.‎ 答案　3‎ ‎5．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2.则该数列前15项的和S15＝________.‎ 解析　由性质知：a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝＝－2，首项为a1＋a2＋a3＝1，其前5项和就是数列{an}的前15项的和S15＝＝11.‎ 答案　11‎ ‎6．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(1)解　设等比数列{an}的公比为q(q∈R)，‎ 由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，‎ 从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，‎ a6＝a1q5＝q－1.‎ 因为a4，a5＋1，a6成等差数列，‎ 所以a4＋a6＝2(a5＋1)，‎ 即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．‎ 所以q＝.‎ 故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64n－1.‎ ‎(2)证明　Sn＝＝ ‎＝128<128.‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．在等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为 (　　)．‎ A．2 B．－2‎ C．2或－2 D．2或－1‎ 解析　已知即S4＝1，S8－S4＝16.‎ ‎∴ 即 两式相除得q4＝16，∴q＝±2.‎ 答案　C ‎8．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 (　　)．‎ A．(2n－1)2 B.(2n－1)2‎ C．4n－1 D.(4n－1)‎ 解析　设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1.易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1，∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝(4n－1)．故选D.‎ 答案　D ‎9．Sn＝1＋3＋5＋…＋＝________.‎ 解析　Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋‎ ‎＝＋ ‎＝n2＋1－.‎ 答案　n2＋1－ ‎10．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于________．‎ 解析　an－an－1＝a1qn－1＝2n－1‎ 即 相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，‎ 故an＝a1＋2n－2＝2n－1.‎ 答案　2n－1‎ ‎11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.‎ 解　(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，‎ 两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，‎ 又a1＝2a1－2，∴a1＝2，‎ ‎∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.‎ ‎∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，‎ ‎∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，‎ ‎∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.‎ ‎(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n①‎ ‎∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1②‎ ‎①－②得：‎ ‎－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1‎ ‎＝2＋2·－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6‎ ‎∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.‎ ‎12．(创新拓展)n2(n≥4)个正数排成n行n列：‎ a11　a12　a13　a14　…　a1n a21　a22　a23　a24　…　a2n a31　a32　a33　a34　…　a3n ‎…　…　…　…　…　…‎ an1　an2　an3　an4　…　an n 其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24＝1，a42＝，a43＝，求a11＋a22＋a33＋…＋an n.‎ 解　设第1行的公差为d，各列公比为q，则得 a1k＝a11＋(k－1)d，a24＝a14q＝(a11＋3d)q＝1①‎ a42＝a12q3＝(a11＋d)q3＝②‎ a43＝a13q3＝(a11＋2d)q3＝③‎ 由①②③，解得a11＝d＝q＝.‎ ‎∴akk＝a1kqk－1＝[a11＋(k－1)d]qk－1＝.‎ 设Sn＝a11＋a22＋a33＋…＋an n，则 Sn＝＋＋＋…④‎ Sn＝＋＋＋…＋⑤‎ ‎④－⑤得，‎ Sn＝＋＋＋…＋－＝1－.‎ ‎∴Sn＝2－.‎ 即a11＋a22＋a33＋…＋an n＝2－.‎